格尔斯滕哈伯代数

格爾斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系，Gerstenhaber证明，Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦（Kodaira）-Spencer关于流形复结构形变研究的启发，这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在下面后4个例子中，例2和例3是1990年代之前发现的，1993年，Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的，用数学语言表述，即：对任何一个结合代数，其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想，最后由Kontsevich-Soibelman^[1]，McClure-Smith^[2]，Tamarkin^[3]和Voronov^[4]等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具，而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系，因而引起了很多人的兴趣。

稍后，在1997年，Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文^[5]，发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究，从而开辟了一门崭新的学科。

最后，需要补充的是，关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数（简称BV代数）的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数，往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到，如^[6][5]。

定义

设 ${\displaystyle \;V\;}$ 是数域 ${\displaystyle \;k\;}$ 上的一个分次向量空间。${\displaystyle \;V\;}$ 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 ${\displaystyle (V,\bullet ,[\;,\;])}$，满足以下关系：

1. ${\displaystyle \;(V,\bullet )\;}$ 是${\displaystyle \;k\;}$ 上的分次、交换、结合的代数；
2. ${\displaystyle \;(V,[\;,\;])\;}$是李括号次数为 -1 的分次李代数；
3. 李括号对其两个变元都是乘积 ${\displaystyle \;\bullet \;}$ 的导子，即对任给 ${\displaystyle a,b,c\in V}$，

${\displaystyle [a,b\bullet c]=[a,b]\bullet c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\bullet [a,c].}$

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数（braid algebra）。

例子

下面是一些Gerstenhaber代数的例子，因为构造都比较复杂，因此只列出结果，有兴趣的读者可以参考所给文献资料：

1. 设${\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;}$是一个李代数，记${\displaystyle \;\Lambda {\mathfrak {g}}\;}$为其所对应的链复形，则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构，乘法由外积给出，李括号为从${\displaystyle \;{\mathfrak {g}}\;}$上诱导的李括号给出（这是一个比较平凡的例子，因此一般人并不重点讨论，但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要）；
2. 设${\displaystyle \;A\;}$是数域${\displaystyle \;k\;}$上的结合代数，Gerstenhaber证明：${\displaystyle \;A\;}$的霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数^[7]；
3. 记${\displaystyle \;D\;}$为little disks operad，Cohen证明：${\displaystyle \;D\;}$的同调群形成一个Gerstenhaber代数^[8]；
4. Lian和Zuckerman证明了，在弦理论的背景（background，指从弦理论里面抽象出来的代数结构）中，存在一个Gerstenhaber代数结构^[6]；
5. 设${\displaystyle \;M\;}$是一个紧致光滑的流形，${\displaystyle \;LM\;}$是它的自由环路空间（free loop space）。Chas和Sullivan证明：${\displaystyle \;LM\;}$的同调群形成一个Gerstenhaber代数^[5]。

參見

• Batalin-Vilkovisky代数
• 弦拓扑

参考资料

1. Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
2. McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
3. Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
4. Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
5. Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
6. Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
7. Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
8. Cohen, F.R., The homology of ${\displaystyle \;C_{n+1}\;}$-spaces,${\displaystyle \;n\geq 1\;}$, in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.