杨氏不等式

在数学上，楊氏不等式，指出：假设${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$是正实数 ，且有${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，那么：

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

等号成立当且仅当${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$ ，因为这时${\displaystyle ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}$。

楊氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明赫爾德不等式的一个快捷方法。该不等式以威廉·亨利·杨（英语：William Henry Young）命名。

证明

我们知道函数${\displaystyle f(x)=e^{x}}$是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有：

${\displaystyle ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}$

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 ${\displaystyle t}$ ，若 ${\displaystyle 0<t<1}$，则有：

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$

推广

设${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$是一个连续、严格递增函数且 ${\displaystyle \phi (0)=0}$ 。那么下面的不等式成立：

${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy}$

观察${\displaystyle \phi (x)}$的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$组成的矩形的面积大。

参考来源

• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 请检查|issn=值 (帮助).  请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 请检查|issn=值 (帮助).  请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)