星形域

星形域（星形凸集）不一定是通常意义下的凸集。

环形不是星形域。

在数学中，一个欧几里得空间Rⁿ中的集合${\displaystyle S}$称为星形域（star domain）或星形凸集（star-convex set），意思是存在${\displaystyle S}$中的点${\displaystyle x_{0}}$，使得对于${\displaystyle S}$中的所有${\displaystyle x}$，从${\displaystyle x_{0}}$到${\displaystyle x}$的线段也位于${\displaystyle S}$内。这个定义可以立刻推广到任何实或複向量空间。

直观地，如果我们把${\displaystyle S}$视为用围墙包围的一个区域，那么${\displaystyle S}$是一个星形域，意思是我们可以在${\displaystyle S}$中找到一个着眼点${\displaystyle x_{0}}$，使得${\displaystyle S}$中的任何点${\displaystyle x}$都在该点的视线内。

例子

• Rⁿ中的任何直线或平面都是星形域。
• 一条直线或一个平面去掉一个点就不是星形域。
• 如果A是Rⁿ中的一个集合，那么把A的任何点与原点相连而得到的集合

${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$

是一个星形域。

性质

• 任何非空凸集都是星形域。一个集合是凸集，当且仅当它关于该集合中的任何点都是星形域。
• 十字形状是星形域，但不是凸集。
• 一个星形域的闭包也是星形域，但一个星形域的内部不一定是星形域。
• 任何星形域都是可缩集合，即與單點空間同倫等價，因為有一个直线同伦。特别地，任何星形域都是單連通集合。
• 两个星形域的并集和交集不一定是星形域。
• Rⁿ中的非空开星形域S与Rⁿ微分同胚。

参见

• 美术馆问题
• 星形多边形
• 平衡集

参考文献

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.

• C.R. Smith, A characterization of Star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). pp. 386.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Star convex. MathWorld.