方根

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在数学中，一數${\displaystyle b}$為数${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，則${\displaystyle b^{n}=a}$。在提及实数${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根的时候，若指的是此数的主${\displaystyle n}$次方根，則可以用根号（${\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}}$）表示成${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作${\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}$。當${\displaystyle n=2}$時，則${\displaystyle n}$可以省略。定义实数${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根为${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，且具有与${\displaystyle a}$相同的正负号的唯一实数${\displaystyle b}$。在${\displaystyle n}$是偶数時，负数没有主${\displaystyle n}$次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數${\displaystyle b}$為数${\displaystyle a}$的${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$次方：

${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

符号史

主条目：根号

最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算可由如下公式推導而得:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}$

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数${\displaystyle a}$，有${\displaystyle n}$个不同的复数${\displaystyle b}$使得${\displaystyle b^{n}=a}$，所以符号${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$就會出現歧义（通常這樣寫是取${\displaystyle n}$個值當中主幅角最小的）。${\displaystyle n}$次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}$

${\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}$

例如:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}$

若要做加法或减法，需考慮下列的概念。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}$

${\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

${\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

不尽根数

未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}}$

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

• ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

• ${\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}$

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式${\displaystyle ae^{i\varphi }}$(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

${\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$

对于${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$，这裡的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$表示${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根。

正实数

所有${\displaystyle x^{n}=a}$或${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，这裡的${\displaystyle a}$是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$

对于${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$，这裡的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$表示${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根。

解多项式

曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

${\displaystyle \ x^{5}=x+1}$

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

算法

對於正數${\displaystyle A}$，可以通過以下算法求得${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$的值：

1. 猜一個${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$的近似值，將其作為初始值${\displaystyle x_{0}}$
2. 設 ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$。記誤差為${\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}$，即${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}$。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：${\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon }$。

從牛頓法導出

求${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$之值，亦即求方程${\displaystyle x^{n}-A=0}$的根。

設${\displaystyle f(x)=x^{n}-A}$，其導函數即${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}$。

以牛頓法作迭代，便得

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

從牛頓二項式定理導出

設${\displaystyle x_{k}}$為迭代值，${\displaystyle y}$為誤差值。

令${\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：${\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}$

調項得${\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}$

將以上結果代回（*），得遞歸公式${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

参见

• 增乘开平方法
• 幂
• 无理数
• 分母有理化
• 双重根号
• 2的12次方根

外部链接

• 高階根號求解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根^{[永久失效連結]}
• 指數-高中數學教案
• 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) （页面存档备份，存于互联网档案馆）