图沙德多项式

Touchard Polynomials

图沙德多项式是1939年法兰西数学家Jacques Touchard（英语：Jacques_Touchard）提出的多项式。定义如下^[1]：

Touchard Polynomials

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},}$

其中${\displaystyle S(n,k)}$是第二类斯特林数。

前面几个图沙德多项式是：

• ${\displaystyle T_{0}(x)=1}$
• ${\displaystyle T_{1}(x)=x}$
• ${\displaystyle T_{2}(x)=x+x^{2}}$
• ${\displaystyle T_{3}(x)=x+3x^{2}+x^{3}}$
• ${\displaystyle T_{4}(x)=x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4}}$
• ${\displaystyle T_{5}(x)=x+15x^{2}+25x^{3}+10x^{4}+x^{5}}$

生成函数

图沙德多项式的生成函数为

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}.}$

参考文献

1. Touchard, Jacques, Sur les cycles des substitutions, Acta Mathematica, 1939, 70 (1): 243–297, ISSN 0001-5962, MR 1555449, doi:10.1007/BF02547349