卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述

一維形式

設${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} }$是可測函數，對任何${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在緊緻集${\displaystyle E\subset [a,b]}$，使得${\displaystyle \lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon }$，而且f限制到E上是連續函數。此處${\displaystyle \lambda }$是勒貝格測度。

證明

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}([a,b])}$中稠密，存在連續函數序列${\displaystyle g_{i}}$依L¹範數收斂至f，即${\displaystyle \int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0}$。故此有子序列${\displaystyle g_{i_{k}}}$幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，${\displaystyle g_{i_{k}}}$一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式

設${\displaystyle \mu }$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的正則博雷爾測度，${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$是${\displaystyle \mu }$可測函數。X是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的${\displaystyle \mu }$可測集，而且${\displaystyle \mu (X)<\infty }$，那麼對任意${\displaystyle \epsilon >0}$，X中存在緊緻集K，使得${\displaystyle \mu (X\backslash K)<\epsilon }$，而且f限制到K上是連續函數。

證明

首先，對每個正整數i，構造緊緻集${\displaystyle K_{i}}$和在其上的連續函數${\displaystyle g_{i}}$，使得

${\displaystyle \mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}}$

且在${\displaystyle K_{i}}$上有

${\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i}$

構造方法如下：

將${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$分成兩兩不交的博雷爾集${\displaystyle (Y_{ij})_{j=1}^{\infty }}$，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像${\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})}$是可測集。令${\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})}$，則${\displaystyle X_{ij}}$將X分成兩兩不交的可測集。

由於${\displaystyle \mu }$是博雷爾正則測度，且${\displaystyle \mu (X)<\infty }$，於是${\displaystyle \mu }$限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在${\displaystyle X_{ij}}$中存在緊緻子集${\displaystyle K_{ij}}$，使得

${\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}}$

所以全部子集${\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}}$的不交並集的測度

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$

因為${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})}$，可以取足夠大的N使得

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$

令${\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}}$。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以${\displaystyle K_{i}}$緊緻。因此${\displaystyle K_{i}}$滿足要求。

對j=1,..., N，在${\displaystyle Y_{ij}}$中任取一點${\displaystyle y_{ij}}$，並在${\displaystyle K_{ij}}$上定義${\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}}$。

因為在${\displaystyle K_{ij}}$上，f的值包含在${\displaystyle Y_{ij}}$中，故此f和${\displaystyle g_{i}}$相差小於1/i。而${\displaystyle K_{ij}}$是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以${\displaystyle g_{i}}$在${\displaystyle K_{i}}$上是連續函數。因此${\displaystyle g_{i}}$滿足要求。

取${\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}}$，K是緊緻集，並有

${\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon }$

函數列${\displaystyle g_{i}}$在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.