在数学 領域中，剛性方程 （stiffness equation）是指一个微分方程 ，其數值分析 的解只有在時間間隔很小時才會穩定 ，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精确地去定義哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。
在積分微分方程時，若某一區域的解曲線 刚性系統 。
在求解一個刚性常微分方程時，用顯式方法 出現的不穩定情形 考虑下面的初值问题 ：
y
′
(
t
)
=
− − -->
15
y
(
t
)
,
t
≥ ≥ -->
0
,
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle \,y'(t)=-15y(t),\quad t\geq 0,\,y(0)=1}
其精确解是
y
(
t
)
=
e
− − -->
15
t
{\displaystyle y(t)=e^{-15t}}
t
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle t\to \infty }
y
(
t
)
→ → -->
0
{\displaystyle y(t)\to 0}
會希望数值解 能够具有相同的特性。
若以歐拉方法 來求數值解，則使用不同的步长（step size）將會得到不同的結果。第一种，步长
h
=
1
/
4
{\displaystyle h=1/4}
欧拉法 强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为
h
=
1
/
8
{\displaystyle h=1/8}
而梯形法 ，即两阶段亚丹士-莫耳吞法
y
n
+
1
=
y
n
+
1
2
h
(
f
(
t
n
,
y
n
)
+
f
(
t
n
+
1
,
y
n
+
1
)
)
.
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{1 \over 2}h\left(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1})\right).}
其求得的結果比欧拉法的結果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。
剛性系統的特色是該系統所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部絕對值中，最大和最小的比值远大于1。
將龍格－庫塔法應用至測試方程
y
′
=
k
⋅ ⋅ -->
y
{\displaystyle y'=k\cdot y}
y
n
+
1
=
ϕ ϕ -->
(
h
k
)
⋅ ⋅ -->
y
n
{\displaystyle y_{n+1}=\phi (hk)\cdot y_{n}}
y
n
=
(
ϕ ϕ -->
(
h
k
)
)
n
⋅ ⋅ -->
y
0
{\displaystyle y_{n}=(\phi (hk))^{n}\cdot y_{0}}
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
y
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=0}
|
ϕ ϕ -->
(
h
k
)
|
<
1
{\displaystyle |\phi (hk)|<1}
{
z
∈ ∈ -->
C
|
|
ϕ ϕ -->
(
z
)
|
<
1
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,|\phi (z)|<1\}}
若一個方法的穩定區域包含
{
z
∈ ∈ -->
C
|
R
e
(
z
)
<
0
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |\,\mathrm {Re} (z)<0\}}
A-穩定
粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。 粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。
Dahlquist, Germund , A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3 : 27–43, doi:10.1007/BF01963532 Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18 : 475–489, doi:10.1007/BF01932026
