幾何平均數，[ 1] [ 2]
l
2
(
B
C
¯ ¯ -->
)
{\displaystyle l_{2}\;({\overline {BC}})}
A
B
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {AB}}}
在數學中，幾何平均數 是一種均值 ，它通過使用它們的值的乘積（算術平均數 使用"和"）來指示一組數字的集中趨勢或典型值。幾何平均數定義為第
n
{\displaystyle n}
乘積 的第
n
{\displaystyle n}
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
.
.
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},......x_{n}}
(
∏ ∏ -->
i
=
1
n
x
i
)
1
n
=
x
1
x
2
⋯ ⋯ -->
x
n
n
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}
平方根 ，即
2
⋅ ⋅ -->
8
=
4
{\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}
1
32
{\displaystyle {\frac {1}{32}}}
立方根
4
⋅ ⋅ -->
1
⋅ ⋅ -->
1
32
3
=
1
2
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}
當每個項目具有多個具有不同數值範圍的屬性時，幾何平均數 經常使用在比較不同項目，為這些項目找到單個品質因子 [ 3]
幾何平均數可以根據幾何形狀 來理解。兩個數字
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
正方形 一邊的長度，其面積等於以
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
矩形 的面積。同樣，三個數字，
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
立方體 一個邊的長度，其體積與以
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
長方體 的體積相同。
幾何平均數僅適用于正數 。[ 4] 人口 增長的資料或金融投資的利率。
幾何平均數也是三個最經典的畢達哥拉斯平均 的其中一個，與前面提到的算術平均數 和調和平均數 一起。對於包含至少一對不等數的所有正則資料集，調和平均數始終是三種方法中最小的，算術平均數始終是三中最大的，而幾何平均數始終介於兩者之間（參見算幾不等式 ）。
資料集的幾何平均數
{
a
1
,
a
2
,
… … -->
,
a
n
}
{\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}
(
∏ ∏ -->
i
=
1
n
a
i
)
1
n
=
a
1
a
2
⋯ ⋯ -->
a
n
n
.
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}
大寫 希臘字母 Π 來顯示一系列的乘法。 等號的每一側都顯示一組值是連續相乘的 (值的個數由"
n
{\displaystyle n}
乘積 的總數, 然後將整個產品的
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\textstyle \{1,2,3,4\}}
1
× × -->
2
× × -->
3
× × -->
4
{\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}
24
24
1
n
{\textstyle {\frac {1}{n}}}
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
24
1
4
=
24
4
{\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}
除非數集的所有數皆相等，否則數集的幾何平均數 小於 數集的算術平均數 資料集的，在這種情況下，幾何平均數和算術平均數的值是相等的。這允許定義 算術-幾何平均數 ，這兩者的交集總是介於兩者之間。
幾何平均數在某種意義上也代表說，如果算術-調和平均數 定義了兩個 序列
(
a
n
)
{\textstyle (a_{n})}
(
h
n
)
{\textstyle (h_{n})}
a
n
+
1
=
a
n
+
h
n
2
,
a
0
=
x
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}
h
n
+
1
=
2
1
a
n
+
1
h
n
,
h
0
=
y
{\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}
h
n
+
1
h_{n+1}
調和平均數 ，則
a
n
a_{n}
h
n
h_{n}
x
x
y
y
這可以很容易地看到一個事實，序列確實收斂到一個共同的極限，幾何平均數被保留，從波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 可以很容易地看出這一點：
a
i
h
i
=
a
i
+
h
i
a
i
+
h
i
h
i
a
i
=
a
i
+
h
i
1
a
i
+
1
h
i
=
a
i
+
1
h
i
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a_{i}h_{i}}}&={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}\\&={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}\\&={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}\end{aligned}}}
使用一對相反的有限指數冪平均 對算術和調和均值進行替換，皆會產生相同的結果。
幾何平均數也可以表示為對數算術平均數的指數。[ 5] 對數恒等式 來變換公式，乘法可以表示為總和，而冪可以表示為乘法:
當
a
1
,
a
2
,
… … -->
,
a
n
>
0
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}
(
∏ ∏ -->
i
=
1
n
a
i
)
1
n
=
exp
-->
[
1
n
∑ ∑ -->
i
=
1
n
ln
-->
a
i
]
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}
∃ ∃ -->
a
j
<
0
{\displaystyle \exists a_{j}<0}
(
∏ ∏ -->
i
=
1
n
a
i
)
1
n
=
(
− − -->
1
)
m
exp
-->
[
1
n
∑ ∑ -->
i
=
1
n
ln
-->
|
a
i
|
]
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(-1\right)^{m}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right]}
m
{\displaystyle m}
這有時稱為 "對數平均數" (不與 對數平均 混淆。 它只是計算對數變換值的算術平均數
a
i
{\displaystyle a_{i}}
準算術平均數 用
f
(
x
)
=
log
-->
x
{\displaystyle f(x)=\log x}
b
{\displaystyle b}
對數 的任何基數（通常為2 、
e
{\displaystyle e}
b
1
2
[
log
b
-->
2
+
log
b
-->
8
]
=
4
{\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}2+\log _{b}8\right]}=4}
如果一組不同的數受到均值保留展開式 的影響，兩個或更多的集合元素在算術平均數不變 的情況下互相分散，那麼幾何平均數會減小。[ 6]
在使用幾何平均數來確定某數量的平均增長率時，該數量的初始值
a
0
{\displaystyle a_{0}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
(
a
n
a
0
)
1
n
,
{\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}},}
n
{\displaystyle n}
如果值是
a
0
,
… … -->
,
a
n
{\displaystyle a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k+1}}
a
k
+
1
a
k
{\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}}
(
a
1
a
0
a
2
a
1
⋯ ⋯ -->
a
n
a
n
− − -->
1
)
1
n
=
(
a
n
a
0
)
1
n
{\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}
基於幾何平均數的特性，可以證明是其他任意均值為錯誤的：
GM
-->
(
X
i
Y
i
)
=
GM
-->
(
X
i
)
GM
-->
(
Y
i
)
{\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}
這使得在平均歸一化時，作為參考值的比率顯示的結果，幾何平均數是唯一正確 的平均數。[ 7]
電腦 A
電腦 B
電腦 C
程式 1 1
10
20
程式 2 1000
100
20
算術平均數' 500.5
55
20
幾何平均數 31.622 . . .
31.622 . . .
20
調和平均數 1.998 . . . 18.182 . . .
20
算術和幾何平均數 "同意 " 電腦 C 是最快的。但是，通過提供適當的正常化值和使用算術平均數，我們可以顯示其他兩台電腦中的其中一個是最快的。由 A 的結果正常化根據算術平均數給 A 作為最快速的電腦：
電腦 A
電腦 B
電腦 C
程式 1 1
10
20
程式 2 1
0.1
0.02
算術平均數 1 5.05
10.01
幾何平均數 1
1
0.632 . . .
調和平均數 1
0.198 . . .
0.039 . . .
當結果正常化時，根據算術平均數 B 為最快的電腦，但是根據調和平均數 A 為最快的電腦：
電腦 A
電腦 B
電腦 C
程式 1 0.1
1
2
程式 2 10
1
0.2
算術平均數 5.05
1 1.1
幾何平均數 1
1
0.632
調和平均數 0.198 . . . 1
0.363 . . .
而根據結果，根據算術平均數 C 作為最快的電腦，但根據調和平均數 A 作為最快的電腦：
電腦 A
電腦 B
電腦 C
程式 1 0.05
0.5
1
程式 2 50
5
1
算術平均數 25.025
2.75
1
幾何平均數 1.581 . . .
1.581 . . .
1
調和平均數 0.099 . . . 0.909 . . .
1
在所有情況下，幾何平均數給出的排名與使用非標準化數值所得的排名保持一致。
然而，這種推理一直受到質疑。[ 8]
1
1000
{\displaystyle {\frac {1}{1000}}}
1
100
{\displaystyle {\frac {1}{100}}}
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
IPC ) 應使用調和平均數。
幾何平均數比算術平均數 更適合用於 指數增長 (恒定的比例增長) 和變化的增長值；在商業中，幾何平均數的增長率被稱為複合年均增長率 (CAGR)。隨著週期的增長，幾何平均數會產生相等的恒定增長率，從而得出相同的最終數量。
假設橙樹一年產100個橙子，接下來幾年產180個，210個和300個，因此每年的增長率分別為80％，16.6666％和42.8571％。使用算術平均數 計算（線性）平均增長46.5079％（80％+ 16.6666％+ 42.8571％，該總和則除以3 ）。 但是，如果我們從100個橙子開始並讓它每年增長46.5079％，結果是314個橙子，而不是300個，所以表示線性平均數“超過”去年增長。
反之，我們可以使用幾何平均數。增長80％對應於乘以1.80，因此我們採用1.80,1.166666和1.428571的幾何平均數，即
1.80
× × -->
1.166666
× × -->
1.428571
3
≈ ≈ -->
1.442249
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}
雖然幾何平均數在計算社會統計數據方面相對較少，但從2010年開始，聯合國人類發展指數確實轉向這種計算方式，理由是它更好地反映了編制和比較的統計數據的不可替代性：
幾何平均數降低了維度之間的可替代性水平，同時確保出生時預期壽命下降1％對人類發展指數的影響與教育或收入下降1％相同。因此，作為比較成就的基礎，這種方法也更加尊重維度的內在差異，而不是簡單的平均數。[ 9]
並非所有用於計算HDI （人類發展指數 ）的值都被標準化; 其中一些人有形式
X
− − -->
X
min
X
norm
− − -->
X
min
{\displaystyle {\frac {X-X_{\text{min}}}{X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}}}}
Kerns Powers使用的縱橫比的相等面積比較推導出電影電視工程師協會 16：9 標準。[ 10] TV 4:3/1.33 紅色， 1.66 橘色， 16:9/1.77 藍色 ， 1.85 黃色， 潘那維申 /2.2 洋紅色和 CinemaScope /2.35 紫色。 幾何平均數已用於選擇膠片和視頻中的折衷長寬比 幾何平均數已用於選擇膠片和視頻中的折衷寬高比：給定兩個寬高比，它們的幾何平均數在它們之間提供折衷，在某種意義上同等地扭曲或裁剪。 具體地，不同縱橫比的兩個相等面積矩形（具有相同的中心和平行邊）在長寬比為幾何平均數的矩形中相交，並且它們的殼體（包含它們兩者的最小矩形）同樣具有它們的幾何平均數的縱橫比。
在電影電視工程師協會 選擇16：9寬高比時，平衡2.35和4：3，幾何平均數為
2.35
× × -->
4
3
≈ ≈ -->
1.7701
{\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}
16
:
9
=
1.77
7
¯ ¯ -->
{\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}
[ 10] CinemaScope (2.35:1)，恰好接近於
16
:
9
{\textstyle 16:9}
1.77
7
¯ ¯ -->
:
1
{\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}
將相同的幾何平均技術應用於16：9和4：3大致得到14:9 (
1.55
5
¯ ¯ -->
{\textstyle 1.55{\overline {5}}}
[ 11] 算術平均數 的
16
:
9
{\textstyle 16:9}
4
:
3
=
12
:
9
{\textstyle 4:3=12:9}
幾何平均數 是
16
9
× × -->
4
3
≈ ≈ -->
1.5396
≈ ≈ -->
13.8
:
9
,
{\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}
在光學塗層中，在折射率為
n
0
{\displaystyle n_{0}}
n
2
{\displaystyle n_{2}}
n
1
{\displaystyle n_{1}}
增透膜 的最佳折射率為幾何平均數：
n
1
=
n
0
n
2
{\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}
在訊號處理 中，光譜平坦度 是一種測量平面或尖刺頻譜的方法，它被定義為功率譜的幾何平均數與算術平均數的比值。
直角三角形的高度（
h
{\displaystyle h}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
在直角三角形 的情況下，它的高度是從斜邊垂直延伸到其90°頂點 的直線的長度。想像這條線把斜邊分成兩段，這些線段長度的幾何平均數就是高度的長度。
在橢圓 中，半短軸 是橢圓從焦點 的最大和最小距離的幾何平均數，它也是半長軸 和圓錐曲線 的幾何平均數。橢圓的半長軸是從中心到焦點的距離的幾何平均數，以及從中心到準線的距離。
距離到球體的地平線是距離的幾何平均數到球的最接近的點和距離到球的最遠的點。
幾何平均數一直被用來計算財務指標 (平均是在指數的組成部分)。例如，過去 FTOI 索引使用了幾何平均數。[ 12] RPIJ "中，英國和歐洲聯盟其他地區的通貨膨脹率也被使用。
與使用算術平均數相比，這對索引中的運動有低估作用。[ 12]
在影像處理中，採用幾何均值濾波器作為雜訊濾波器。
^ Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong On Compass and Straightedge Constructions: Means (PDF) . UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS. 2013 [14 June 2018] . （原始内容存档 (PDF) 于2018-06-14）.
^ Euclid, Book VI, Proposition 13
^ TPC-D – Frequently Asked Questions (FAQ) . Transaction Processing Performance Council. [9 January 2012] . （原始内容存档 于2011-11-04）. ^ 幾何平均數只適用于同一個符號的數位，以避免取負乘積的根，從而產生虛數 ，也能滿足某種方法的某些性質，本文稍後將對此進行解釋。定義是明確的，如果你允許0（產生幾何平均數0），但可能被排除，因為你經常想要採取幾何手段的對數（在乘法和加法之間轉換），並且你不可能採取對數0。
^ Crawley, Michael J. Statistics: An Introduction using R. John Wiley & Sons Ltd. 2005. ISBN 9780470022986 ^ Mitchell, Douglas W. More on spreads and non-arithmetic means . The Mathematical Gazette . 2004, 88 : 142–144. ^ Fleming, Philip J.; Wallace, John J. How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results. Communications of the ACM. 1986, 29 (3): 218–221. doi:10.1145/5666.5673 ^ Smith, James E. Characterizing computer performance with a single number. Communications of the ACM. 1988, 31 (10): 1202–1206. doi:10.1145/63039.63043 ^ Frequently Asked Questions - Human Development Reports . hdr.undp.org. [2018-10-06 ] . （原始内容存档 于2011-03-02）. ^ 10.0 10.1 TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios (PDF) . The CinemaSource Press. 2001 [2009-10-24 ] . （原始内容 (PDF) 存档于2009-09-09）. ^ US 5956091 ,「Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays」,发行于September 21, 1999 ^ 12.0 12.1 Rowley, Eric E. The Financial System Today. Manchester University Press. 1987. ISBN 0719014875
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026cae6801f672b9858d55935ec7397183dc3a36)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7646119ee44e2d383d1a80e68cfdba5769d46595)
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce0b254fa59ff1469815211849e01afb2c2639)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99)
![{\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf902fd3a756ded31adb6422871b0f871873ab3)
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209a47a2b2696e9b5bada5d7c4f4340cc905afec)
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(-1\right)^{m}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e08d5f2304316dccdba3b514a4c9c6c556bc95)
![{\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}2+\log _{b}8\right]}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4dbc97d1844443594a6d177895740d8f14850d4)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da9a200d95bde041252664366636b41eb7fb036)
