八皇后问题
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
八皇后问题的唯一对称解（不包括旋转和反射变换）
八皇后问题 是一个以国际象棋 为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后 ，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n 皇后摆放问题n ×n ，而皇后个数也变成n 。当且仅当 n = 1或n ≥ 4时问题有解[ 1]
八皇后问题最早是由西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔 （Max Bezzel）于1848年提出。第一个解在1850年由弗朗兹·诺克（Franz Nauck）给出。并且将其推广为更一般的n 皇后摆放问题。诺克也是首先将问题推广到更一般的n 皇后摆放问题的人之一。
在此之后，陆续有数学家 对其进行研究，其中包括高斯 和康托 ，1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式 来求解的方法[ 2] J.W.L.格莱舍 加以改进。
1972年，艾兹格·迪杰斯特拉 用这个问题为例来说明他所谓结构化编程 的能力[ 3] 深度优先搜索 回溯算法 有着非常详尽的描述2
八皇后问题在1990年代初期的著名电子游戏《第七访客 》和NDS 平台的著名电子游戏《雷顿教授与不可思议的小镇 》中都有出现。
八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368（64 C8 可行（皇后間互不攻擊） 的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解，具体如下：
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解1
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解2
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解3
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解4
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解5
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解6
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解7
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解8
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解9
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解10
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解11
a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h
独立解12
下表给出了n 皇后问题的解的个数包括独立解U（OEIS 數列A002562 ）以及可行解D（OEIS 數列A000170 ）的个数：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
..
U
1
0
0
1
2
1
6
12
46
92
341
1,787
9,233
45,752
..
D
1
0
0
2
10
4
40
92
352
724
2,680
14,200
73,712
365,596
..
可以注意到六皇后问题的解的个数比五皇后问题的解的个数要少。现在还没有已知公式可以对n 计算n 皇后问题的解的个数。
下面是求解n皇后的C 代码，在程序中可以自己设置n个皇后以及选择是否打印出具体解。
#include <stdio.h>
#define QUEENS 8 /*皇后数量*/
#define IS_OUTPUT 1 /*(IS_OUTPUT=0 or 1)，Output用于选择是否输出具体解,为1输出，为0不输出*/
int A [ QUEENS + 1 ], B [ QUEENS * 3 + 1 ], C [ QUEENS * 3 + 1 ], k [ QUEENS + 1 ][ QUEENS + 1 ];
int inc , * a = A , * b = B + QUEENS , * c = C ;
void lay ( int i ) {
int j = 0 , t , u ;
while ( ++ j <= QUEENS )
if ( a [ j ] + b [ j - i ] + c [ j + i ] == 0 ) {
k [ i ][ j ] = a [ j ] = b [ j - i ] = c [ j + i ] = 1 ;
if ( i < QUEENS ) lay ( i + 1 );
else {
++ inc ;
if ( IS_OUTPUT ) {
for ( printf ( "(%d) \n " , inc ), u = QUEENS + 1 ; -- u ; printf ( " \n " ))
for ( t = QUEENS + 1 ; -- t ; ) k [ t ][ u ] ? printf ( "Q " ) : printf ( "+ " );
printf ( " \n\n\n " );
}
}
a [ j ] = b [ j - i ] = c [ j + i ] = k [ i ][ j ] = 0 ;
}
}
int main ( void ) {
lay ( 1 );
printf ( "%d皇后共计%d个解 \n " , QUEENS , inc );
return 0 ;
}
以下列出尼克劳斯·维尔特 的Pascal语言 程序[ 4]
program eightqueen1 ( output ) ;
var i : integer ; q : boolean ;
a : array [ 1 .. 8 ] of boolean ;
b : array [ 2 .. 16 ] of boolean ;
c : array [ - 7 .. 7 ] of boolean ;
x : array [ 1 .. 8 ] of integer ;
procedure try ( i : integer ; var q : boolean ) ;
var j : integer ;
begin
j := 0 ;
repeat
j := j + 1 ;
q := false ;
if a [ j ] and b [ i + j ] and c [ i - j ] then
begin
x [ i ] := j ;
a [ j ] := false ;
b [ i + j ] := false ;
c [ i - j ] := false ;
if i < 8 then
begin
try ( i + 1 , q ) ;
if not q then
begin
a [ j ] := true ;
b [ i + j ] := true ;
c [ i - j ] := true ;
end
end
else
q := true
end
until q or ( j = 8 ) ;
end ;
begin
for i := 1 to 8 do a [ i ] := true ;
for i := 2 to 16 do b [ i ] := true ;
for i := - 7 to 7 do c [ i ] := true ;
try ( 1 , q ) ;
if q then
for i := 1 to 8 do write ( x [ i ] : 4 ) ;
writeln
end .
使用回溯法进行求解八皇后问题
#include <stdio.h>
#define PRINTF_IN 1 //定义是否打印，1：打印，0：不打印
int queens ( int Queens ){
int i , k , flag , not_finish = 1 , count = 0 ;
//正在处理的元素下标，表示前i-1个元素已符合要求，正在处理第i个元素
int a [ Queens + 1 ]; //八皇后问题的皇后所在的行列位置，从1幵始算起，所以加1
i = 1 ;
a [ 1 ] = 1 ; //为数组的第一个元素赋初值
printf ( "%d皇后的可能配置是:" , Queens );
while ( not_finish ){ //not_finish=l:处理尚未结束
while ( not_finish && i <= Queens ){ //处理尚未结束且还没处理到第Queens个元素
for ( flag = 1 , k = 1 ; flag && k < i ; k ++ ) //判断是否有多个皇后在同一行
if ( a [ k ] == a [ i ])
flag = 0 ;
for ( k = 1 ; flag && k < i ; k ++ ) //判断是否有多个皇后在同一对角线
if ( ( a [ i ] == a [ k ] - ( k - i )) || ( a [ i ] == a [ k ] + ( k - i )) )
flag = 0 ;
if ( ! flag ){ //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素
if ( a [ i ] == a [ i -1 ]){ //若a[i]的值已经经过一圈追上a[i-1]的值
i -- ; //退回一步，重新试探处理前一个元素
if ( i > 1 && a [ i ] == Queens )
a [ i ] = 1 ; //当a[i]为Queens时将a[i]的值置1
else
if ( i == 1 && a [ i ] == Queens )
not_finish = 0 ; //当第一位的值达到Queens时结束
else
a [ i ] ++ ; //将a[il的值取下一个值
} else if ( a [ i ] == Queens )
a [ i ] = 1 ;
else
a [ i ] ++ ; //将a[i]的值取下一个值
} else if ( ++ i <= Queens )
if ( a [ i -1 ] == Queens )
a [ i ] = 1 ; //若前一个元素的值为Queens则a[i]=l
else
a [ i ] = a [ i -1 ] + 1 ; //否则元素的值为前一个元素的下一个值
}
if ( not_finish ){
++ count ;
if ( PRINTF_IN ){
printf (( count -1 ) % 3 ? " [%2d]:" : " \n [%2d]:" , count );
for ( k = 1 ; k <= Queens ; k ++ ) //输出结果
printf ( " %d" , a [ k ]);
}
if ( a [ Queens -1 ] < Queens )
a [ Queens -1 ] ++ ; //修改倒数第二位的值
else
a [ Queens -1 ] = 1 ;
i = Queens -1 ; //开始寻找下一个满足条件的解
}
}
return count ;
}
int main ()
{
int Num ;
printf ( "输入一个N皇后数值：" );
scanf ( "%d" , & Num );
printf ( " \n %d皇后有%d种配置 \n " , Num , queens ( Num ));
}
使用回溯法进行求解八皇后问题(Java版本)，可直接复制到 N-Queens - LeetCode （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） 测试。
class Solution {
public List < List < String >> solveNQueens ( int n ) {
List < List < String >> results = new ArrayList <> ();
// 使用 char[][] 是为了展示结果时，直接使用 new String(char[])。
// 一般情况下，使用 boolean[][] 即可。
char [][] result = new char [ n ][ n ] ;
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) {
result [ i ][ j ] = '.' ;
}
}
backtrack ( results , result , 0 );
return results ;
}
private static void backtrack ( List < List < String >> results , char [][] result , int x ) {
for ( int j = 0 ; j < result . length ; ++ j ) {
if ( isValid ( result , x , j )) {
result [ x ][ j ] = 'Q' ;
if ( x == result . length - 1 ) {
showResult ( results , result );
// 可以直接 break
} else {
// 皇后问题中，不会出现一行出现多个，所以直接跳到下一行
backtrack ( results , result , x + 1 );
}
result [ x ][ j ] = '.' ;
}
}
}
private static boolean isValid ( char [][] result , int x , int y ) {
// ... (0, y)
// ... ......
// ... (x-1, y)
// ... (x, y)
for ( int i = 0 ; i < x ; ++ i ) {
if ( result [ i ][ y ] == 'Q' ) {
return false ;
}
}
// ...
// ... (x-1, y-1)
// ... .......... (x, y)
for ( int i = x - 1 , j = y - 1 ; i >= 0 && j >= 0 ; -- i , -- j ) {
if ( result [ i ][ j ] == 'Q' ) {
return false ;
}
}
// ...
// ... ...... (x-1, y+1)
// ... (x, y)
for ( int i = x - 1 , j = y + 1 ; i >= 0 && j < result . length ; -- i , ++ j ) {
if ( result [ i ][ j ] == 'Q' ) {
return false ;
}
}
return true ;
}
private static void showResult ( List < List < String >> results , char [][] result ) {
List < String > list = new ArrayList <> ( result . length );
for ( char [] value : result ) {
list . add ( new String ( value ));
}
results . add ( list );
}
}
#include "iostream"
#include "cmath"
using namespace std ;
#define Max 20 //定義棋盤的最大值
int a [ Max ];
int show ( int S ) //定義出函數
{
int i , p , q ;
int b [ Max ][ Max ] = { 0 }; //定義且初始化b[1][]輸出模組
for ( i = 1 ; i <= S ; i ++ ) //按橫列順序輸出a[i]的座標
{
b [ i ][ a [ i ]] = 1 ;
printf ( "(%d,%d) \t " , i , a [ i ]);
}
printf ( " \n " );
for ( p = 1 ; p <= S ; p ++ ) //按棋盤的橫列的順序標明的位置
{
for ( q = 1 ; q <= S ; q ++ )
{
if ( b [ p ][ q ] == 1 ) //在第p行第q列放置一顆棋子
printf ( "x" );
else
printf ( "o" );
}
printf ( " \n " );
}
return 0 ;
}
int check ( int k ) //定義check函數
{
int i ;
for ( i = 1 ; i < k ; i ++ )
{
if (( a [ i ] == a [ k ]) || ( a [ i ] - a [ k ] == k - i ) || ( a [ i ] - a [ k ] == i - k ) ) //檢查是否有多顆棋子在同一個直行上
{
return 0 ;
}
}
return 1 ;
}
void check_m ( int num ) //定義函數
{
int k = 1 , count = 0 ;
printf ( "N皇后問題的所有解(包含經由旋轉的解): \n " );
a [ k ] = 1 ;
while ( k > 0 )
{
if ( k <= num && a [ k ] <= num ) //從第k行第一列的位置開始，尋找之後的棋子的位置
{
if ( check ( k ) == 0 ) //第k行的a[k]列不能放置棋子
{
a [ k ] ++ ; //繼續試探該前行的下一列：a[k+1]
}
else
{
k ++ ; //第K行的位置已經確定完畢，繼續尋找第k+1行棋子的位置
a [ k ] = 1 ; //從第k+1的第一列開始查找
}
}
else
{
if ( k > num ) //若滿足輸出數組的要求就輸出該數組
{
count ++ ;
printf ( "[%d]: " , count );
show ( num ); //調用輸出函數show()
}
k -- ; //棋子位置不符合要求則退回前一步
a [ k ] ++ ; //繼續尋找下一列位置
}
}
printf ( "總共有 %d \n " , count , "個" );
}
int main ( void )
{
int N , d ;
do
{
printf ( " N皇后問題的解(N<20) \n " );
printf ( "請輸入N的值：_" );
scanf ( "%d" , & N );
printf ( " \n " );
if ( N > 0 && N < 20 )
{
check_m ( N );
break ;
}
else
{
printf ( "輸入錯誤，請重新輸入" );
printf ( " \n\n " );
break ;
}
}
while ( 1 );
system ( "pause" );
return 0 ;
}
電腦游戲《第七訪客 》中，伊格（Ego，玩家）在史陶夫的府邸 的游戲室裏碰到的象棋問題正是八個皇后問題。[ 5] （pp. 48-49,289-290）
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