三段论在传统逻辑中,是在其中一个命题(结论)必然地从另外两个命题(叫做前提)中得出的一种推论。这个定义是传统的,可以宽松地从亚里士多德的《前分析篇》Book I, c. 1中推出来。希腊语“sullogismos”的意思是“演绎”。对传统意义上的三段论的详细描述参见直言三段论。[1]
三段论由三个部分组成:大前提、小前提和结论。逻辑上,结论是于小前提之上应用大前提得到的。大前提是一般性的原则,小前提是一个特殊陈述。
正式定義
在數理邏輯裡,三段论證可以能代表:(若
、
、
都為合式公式)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9cca445d72c863d2d5677078e97d3967bed712)
也就是一個元定理,事實上是演繹定理的直截結果。
但另一方面,若
![{\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fd22f8547f725d940d5377dfaff5058fb7c0fb)
成立,則也會被稱為以
和
為前提,
為結論的三段論證。
範例
亚里士多德给出的经典的“Barbara”三段论:[2]
- 如果所有人(M)都是必死的(D),(大前提):
![{\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840ba037a27ddc4edaa834462bc02dfe659db1cc)
- 并且所有希腊人(G)都是人(M),(小前提):
![{\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a56be07ee3f9b75ca1ef369ae9c6c52b9f5637)
- 那么所有希腊人(G)都是必死的(D)。(结论):
![{\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aca1073517ee380ceb3a1c0847da0cc63d6810f)
嚴謹地說,這段論證宣稱
![{\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4294c85d536e9735a63b809333a7d427d19f4415)
這個論證會正確,是基於
![{\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71353ce4858045ace932d39593bf2d646e246354)
和
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9cca445d72c863d2d5677078e97d3967bed712)
還有普遍化:(若變數
在
裡的所有合式公式中,都不自由)
- 若
,那就會有 ![{\displaystyle \Gamma \vdash \forall x{\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d16bd945f435019e0be5c0d6d18329bf6c2513b)
另一方面,含常數符號(特殊個體)的例子如
- 所有人(M)都是必死的(D),(大前提):
![{\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840ba037a27ddc4edaa834462bc02dfe659db1cc)
- 苏格拉底(S)是人(M),(小前提):
![{\displaystyle M(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5303ad5c862a6437f236231dd4293efd99a82ee5)
- 苏格拉底是必死的。(结论):
![{\displaystyle D(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d7410a1eec0e4a32b74b1105a9e0218b23ce72)
上面的例子也可以抽換成
- (所有)金属可以导电,(大前提)
- 铜是金属,(小前提)
- 铜可以导电。(结论)
有效性
与之相对的是隐喻,它组织叫做肯定后件的一种形式的三段论,是逻辑谬论:
- 草(P)会死(M).
- 人(S)会死(M).
- 人(S)是草(P).
Barbara三段论涉及文法和逻辑类型;它有一个主词(比如苏格拉底)和一个谓词(必死的)。肯定后件,是隐喻的基础。这种形式的三段论是逻辑上无效的。
三段论也可以是无效的,如果它们有四个项或者中项不周延。
归纳论证(epagoge)是依赖于归纳推理的弱三段论。
24論式圖示
下表以文氏圖展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。
参见
參考文獻
外部链接