Điểm Isodynamic

Hai điểm isodynamic ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle S'}$ là các điểm đồng quy của ba đường tròn của Apollonius trong một tam giác

Trong hình học phẳng, điểm isodynamic, /¸aisoudai´næmik/, là một trong hai điểm đặc của một tam giác. Các điểm Isodynamic có tính chất là tam giác hình chiếu của nó là một tam giác đều. Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác hai điểm isodynamic được ký hiệu là ${\displaystyle X_{15}}$ và ${\displaystyle X_{16}}$.^[1][2]

Dựng điểm isodynamic

Cách dựng thứ 2

Cách dựng 1: Hai điểm isodynamic là giao điểm của ba đường tròn Apollonius đồng trục trong một tam giác. Đường tròn Apollonius trong một tam giác là đường tròn đi qua đỉnh một tam giác và đi qua giao điểm của các đường phân giác trong và phân giác ngoài với cạnh đối diện của một tam giác.^[3][4]

Cách dựng 2: Dựng dựng các tam giác đều ${\displaystyle A'BC}$, ${\displaystyle B'CA}$, ${\displaystyle C'AB}$ cùng hướng ra ngoài hoặc vào trong trên các cạnh của tam giác ${\displaystyle ABC}$. Lấy các điểm ${\displaystyle A''}$, ${\displaystyle B''}$, ${\displaystyle C''}$ đối xứng của các đỉnh ${\displaystyle ABC}$ qua các cạnh tương ứng. Khi đó đường thẳng nối ${\displaystyle A'A''}$ , ${\displaystyle B'B''}$, ${\displaystyle C'C''}$ sẽ đồng quy tại các điểm isodynamic.^[5]

Tính chất

• Điểm isodynamic là điểm liên hợp đẳng giác của điểm Fermat.
• Điểm isodynamic nằm trên đường tròn Parry.
• Hai điểm isodynamic thằng hàng với tâm đường tròn ngoại tiếp.
• Tam giác hình chiếu của hai điểm isodynamic xuống ba cạnh của tam giác là các tam giác đều
• Hai điểm isodynamic nằm trên đường cong bậc ba Neuberg.
• Hai điểm isodynamic nằm trên trục Brocard.

Xem thêm

• Điểm Napoleon
• Điểm Vecten (hình học)
• Hyperbol Kiepert
• Điểm Fermat

Chú thích

1. X(15) = 1st ISODYNAMIC POINT
2. X(16) = 2nd ISODYNAMIC POINT
3. Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (2nd ed.), Springer, p. 108, ISBN 9780387781303.
4. Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly 24 (7): 313–317, JSTOR 2973552.
5. Evans (2002).

Tham khảo

• Bottema, Oene (2008), Topics in elementary geometry (ấn bản thứ 2), Springer, tr. 108, ISBN 9780387781303.
• Carver, Walter B. (1956), “Some geometry of the triangle”, American Mathematical Monthly, 63 (9): 32–50, JSTOR 2309843.
• Casey, John (1893), A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections: containing an account of its most recent extensions, with numerous examples, Dublin University Press series, Hodges, Figgis, & Co., tr. 303.
• Evans, Lawrence S. (2002), “A rapid construction of some triangle centers” (PDF), Forum Geometricorum, 2: 67–70, MR 1907780, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 9 tháng 12 năm 2015, truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2015.
• Eves, Howard Whitley (1995), College geometry, Jones & Bartlett Learning, tr. 69–70, ISBN 9780867204759.
• Iannaccone, Andrew; Walden, Byron (2003), The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral (PDF), Harvey Mudd College Department of Mathematics, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 25 tháng 10 năm 2015, truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2015.
• Johnson, Roger A. (1917), “Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem”, American Mathematical Monthly, 24 (7): 313–317, JSTOR 2973552.
• Kimberling, Clark (1993), “Functional equations associated with triangle geometry”, Aequationes Mathematicae, 45 (2–3): 127–152, doi:10.1007/BF01855873, MR 1212380.
• Moon, Tarik Adnan (2010), “The Apollonian circles and isodynamic points” (PDF), Mathematical Reflections (6), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 20 tháng 4 năm 2013, truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2015.
• Neuberg, J. (1885), “Sur le quadrilatère harmonique”, Mathesis (bằng tiếng Pháp), 5: 202–204, 217–221, 265–269. The definition of isodynamic points is in a footnote on page 204.
• Rigby, J. F. (1988), “Napoleon revisited”, Journal of Geometry, 33 (1–2): 129–146, doi:10.1007/BF01230612, MR 0963992. The discussion of isodynamic points is on pp. 138–139. Rigby calls them "Napoleon points", but that name more commonly refers to a different triangle center, the point of concurrence between the lines connecting the vertices of Napoleon's equilateral triangle with the opposite vertices of the given triangle.
• Wildberger, N. J. (2008), “Neuberg cubics over finite fields”, Algebraic geometry and its applications, Ser. Number Theory Appl., 5, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, tr. 488–504, doi:10.1142/9789812793430_0027, MR 2484072. See especially p. 498.

Liên kết ngoài

• Isodynamic points X(15) and X(16) in the Encyclopedia of Triangle Centers, by Clark Kimberling
• Weisstein, Eric W., "Isodynamic Points", MathWorld.