Khi đưa vào hoạt động, lớp Forrest Sherman là những tàu khu trục Hoa Kỳ lớn nhất từng được chế tạo,[3] dài 418 foot (127 m) và trọng lượng choán nước tiêu chuẩn 2.800 tấn (2.800 tấn Anh). Nguyên được thiết kế theo dự án SCB 85, chúng được trang bị ba pháo 5 inch (127 mm)/54 caliber trên ba tháp pháo đơn (một phía mũi, hai phía đuôi tàu), bốn pháo phòng không 3 inch (76 mm)/50 caliber trên hai tháp pháo đôi, cùng súng cốiHedgehog và ngư lôichống ngầm.[4]
Khởi hành từ San Diego vào ngày 3 tháng 4, 1961, Morton tham gia tuần tra tại eo biển Đài Loan nơi nó vận chuyển lương thực, thuốc men và quần áo cho người dân Đài Loan trong khuôn khổ Chiến dịch Handclasp, rồi quay trở về San Diego vào ngày 28 tháng 9. Nó tiếp tục hoạt động huấn luyện và bảo trì thường lệ tại vùng bờ Tây cho đến khi lên đường vào ngày 13 tháng 11, 1962 cho một lượt phục vụ khác tại khu vực Tây Thái Bình Dương. Nó lại tham gia tuần tra tại eo biển Đài Loan và hoạt động tại vùng biển Nhật Bản cho đến khi lên đường quay trở về Hoa Kỳ, về đến San Diego vào ngày 15 tháng 6, 1963.[1]
Trong lượt biệt phái tiếp theo sang hoạt động tại khu vực Tây Thái Bình Dương, Morton đi đến ngoài khơi Nam Việt Nam vào tháng 4, 1966, tiến hành bắn phá các mục tiêu tập trung quân và tuyến đường tiếp liệu của đối phương trong suốt bốn tháng tiếp theo. Sau một đợt nghỉ ngắn, nó tham gia vào Chiến dịch Sea Dragon ngoài khơi Bắc Việt Nam vào tháng 5, 1967, và ngoài hoạt động ngăn chặn tàu bè vận chuyển vũ khí và tiếp liệu, con tàu còn bắn phá các vị trí phòng thủ ven biển và các trạm radar đối phương. Nó cũng bắn hải pháo hỗ trợ cho cuộc chiến đấu của Trung đoàn 12 Thủy quân Lục chiến gần Vùng phi quân sự (DMZ) trước khi quay về vùng bờ Tây vào ngày 3 tháng 11. Chiếc tàu khu trục lại xuất phát từ San Diego vào ngày 31 tháng 10, 1968 để đi sang Việt Nam, tham gia hỗ trợ hỏa lực và bắn phá bờ biển Bắc Việt Nam trước khi quay trở về nhà vào mùa Xuân năm 1969.[1]
Đi đến Xưởng hải quân Long Beach và tạm thời xuất biên chế từ ngày 26 tháng 9, 1969 đến ngày 15 tháng 8, 1970, Morton được nâng cấp vũ khí chống tàu ngầm khi được bổ sung hệ thống sonarSQS-23 và tên lửa chống ngầm RUR-5 ASROC, cùng được trang bị các hệ thống điện tử tiên tiến khác. Trong một năm tiếp theo con tàu chạy thử máy và huấn luyện vũ khí và thiết bị mới, hoạt động thực hành phối hợp cùng tàu ngầm bạn tại các vùng biển California và Hawaii. Nó được bảo trì tại Trân Châu Cảng vào đầu năm 1971, và khởi hành vào ngày 9 tháng 9 để đi sang hoạt động tại khu vực Tây Thái Bình Dương; nó tiến hành hai lượt phục vụ hỗ trợ hải pháo tại Việt Nam trước khi lên đường vào ngày 1 tháng 3, 1972, quay trở về Hoa Kỳ qua ngã Australia.[1]
Sau khi tham gia những đợt thực hành chống tàu ngầm, Morton tiếp tục được phái sang hoạt động tại khu vực Tây Thái Bình Dương từ ngày 13 tháng 10, 1972, và lại có những hoạt động bắn phá tại vùng hỏa tuyến tại Việt Nam, đặc biệt nhắm vào những mục tiêu dọc bờ biển Bắc Việt Nam trong tháng 12. Sau khi đạt được thỏa thuận ngừng bắn vào ngày 28 tháng 1, 1973, con tàu tuần tra ngoài khơi vùng biển Nam Việt Nam trước khi lên đường vào ngày 19 tháng 2 để quay trở về Hoa Kỳ. Trong những lượt được phái sang hoạt động tại Viễn Đông trong những năm tiếp theo, nó tháp tùng để hộ tống bảo vệ cho các đội tác chiến tàu sân bay và tham gia các cuộc tập trận chống tàu ngầm nhằm chống lại mối đe dọa từ tàu ngầm Liên Xô.[1]
Morton gặp trục trặc nồi hơi nghiêm trọng tại Philippines vào mùa Xuân năm 1974, rồi được đại tu tại Trân Châu Cảng vào năm 1975. Nó được phái sang hoạt động tại khu vực Tây Thái Bình Dương từ ngày 17 tháng 2, 1977, thực hành chống tàu ngầm ngoài khơi Đài Loan trước khi đi sang Ấn Độ Dương để viếng thăm Kenya và Iran, trước khi quay trở về nhà vào ngày 28 tháng 9. Trong lượt biệt phái tiếp theo từ ngày 11 tháng 9, 1978, nó hoạt động tại vùng biển ngoài khơi Nhật Bản, Hàn Quốc và Đài Loan trước khi quay trở về nhà vào ngày 7 tháng 3, 1979. Con tàu được đại tu từ ngày 3 tháng 5, 1980 và chỉ hoàn tất công việc trong xưởng tàu vào mùa Hè năm 1981.[1]
Khởi hành cho lượt biệt phái hoạt động sau cùng tại Viễn Đông vào tháng 2, 1982, Morton tham gia năm đợt thực hành chống tàu ngầm phối hợp cùng hải quân các nước đồng minh. Nó đã có hai dịp trợ giúp cho các thuyền nhân Việt Nam khi cứu vớt 18 người vào ngày 9 tháng 6, rồi thêm 52 đàn ông, phụ nữ và trẻ em vào ngày 10 tháng 6. Con tàu quay trở về Trân Châu Cảng vào ngày 12 tháng 8, 1982.[1]