Toán tử compact

Bản mẫu:Chuyên ngành Trong giải tích hàm, một nhánh của toán học, một toán tử compact là một toán tử tuyến tính L từ một không gian Banach X đến một không gian Banach Y khác, sao cho tạo ảnh bởi L của bất kỳ tập con bị chặn nào của X cũng là một tập hợp compact tương đối (có bao đóng compact) của Y. Một toán tử như vậy nhất thiết phải là một toán tử bị chặn, và do đó liên tục.^[1]

Bất kỳ toán tử bị chặn L nào có hạng hữu hạn cũng là một toán tử compact. Thật ra, lớp các toán tử compact là một sự khái quát tự nhiên của lớp các toán tử có hạng hữu hạn cho trường hợp vô hạn chiều. Nếu Y là một không gian Hilbert, ta có mọi toán tử compact đều là giới hạn của các toán tử có hạng hữu hạn,^[1] tức là lớp các toán tử compact có thể được định nghĩa như là bao đóng của các toán tử hạng hữu hạn trong tô pô định chuẩn. Liệu điều này có đúng với các không gian Banach nói chung hay không là một câu hỏi mở trong nhiều năm; và vào năm 1973 Per Enflo đã đưa ra một phản ví dụ.^[2]

Ví dụ

• Mỗi toán tử hạng hữu hạn là compact.
• Với ${\displaystyle \ell ^{p}}$ và một dãy (t_n) hội tụ về 0, toán tử nhân (Tx)_n=t_nx_n là compact.
• Với g cố định ∈C([0,1];R), xác định toán tử tuyến tính T từ C([0,1];R) vào C([0,1];R) bởi

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Khẳng định toán tử T compact là hệ quả của định lý Ascoli.

• Theo bổ đề Riesz, toán tử đồng nhất là toán tử compact khi và chỉ khi không gian là có số chiều hữu hạn.^[3]

Ghi chú

1. ^ Conway 1985
2. Enflo 1973
3. Kreyszig (1978, Theorems 2.5-3, 2.5-5)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFKreyszig1978 (trợ giúp)

Tham khảo

• Conway, John B. (1985). A course in functional analysis. Springer-Verlag. Section 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Enflo, P. (1973). “A counterexample to the approximation problem in Banach spaces”. Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. doi:10.1007/BF02392270. ISSN 0001-5962. MR 0402468.
• Kreysig, Erwin, Introductory functional analysis with applications, 1978, ISBN 978-0-471-50731-4
• Kutateladze, S.S. (1996). Fundamentals of Functional Analysis. Texts in Mathematical Sciences. 12 (ấn bản thứ 2). New York: Springer-Verlag. tr. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Lax, Peter (2002). Functional Analysis. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Renardy, M.; Rogers, R. C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics. 13 (ấn bản thứ 2). New York: Springer-Verlag. tr. 356. ISBN 978-0-387-00444-0. (Section 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070542365. OCLC 21163277.CS1 maint: ref=harv (link)
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.CS1 maint: ref=harv (link)
• Trèves, François (ngày 6 tháng 8 năm 2006) [1967]. Topological vector spaces, distributions and kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0486453521. OCLC 853623322.CS1 maint: ref=harv (link) CS1 maint: date and year (link)