Trong Số học, thương số Fermat của số nguyên a ≥ 2 ứng với hệ số nguyên tố p được định nghĩa bởi công thức:[1][2][3]
![{\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191005b19945b4ea74d67002c7b9f6705105e9d5)
Nếu a nguyên tố cùng nhau với p thì theo Định lý nhỏ Fermat, qp(a) là số nguyên.
Tính chất
Nếu a và b là các số nguyên thỏa mãn (a,p)=(b,p)=1 thì:[2]
![{\displaystyle q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aa42f519f38b14558d518363da03e3bc447055)
![{\displaystyle q_{p}(p-1)\equiv 1\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb620091c744f0a8d955879187574bbfd9ab39c)
![{\displaystyle q_{p}(p+1)\equiv -1\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8aa58df1738025e89ca8da9a4307e6b459d7f4)
![{\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f058f60d4de48127ed509fb2e73cdb77450dbd72)
Nếu qp(a) = 0 mod p thì ap-1 = 1 mod p2.
Những số nguyên tố thỏa mãn qp(2) = 0 mod p được gọi là số nguyên tố Wieferichs.
Những nghiệm đã biết của phương trình đồng dư qp(a) = 0 mod p với những giá trị nhỏ của a là:[2]
a
|
p
|
Dãy OEIS
|
2 |
1093, 3511
|
A001220
|
3 |
11, 1006003
|
A014127
|
5 |
2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
|
A123692
|
7 |
5, 491531
|
A123693
|
11 |
71
|
|
13 |
2, 863, 1747591
|
A128667
|
17 |
2, 3, 46021, 48947, 478225523351
|
A128668
|
19 |
3, 7, 13, 43, 137, 63061489
|
A090968
|
23 |
13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329
|
A090968
|
Một cặp số nguyên tố (p,r) thỏa mãn qp(r) = 0 mod p và qr(p) = 0 mod r được gọi là cặp số Wieferich.
Chú thích
Liên kết ngoài
|
---|
Công trình nghiên cứu | |
---|
Liên quan | |
---|