Thương số Fermat

Trong Số học, thương số Fermat của số nguyên a ≥ 2 ứng với hệ số nguyên tố p được định nghĩa bởi công thức:^[1][2][3]

${\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}}}$

Nếu a nguyên tố cùng nhau với p thì theo Định lý nhỏ Fermat, q_p(a) là số nguyên.

Tính chất

Nếu a và b là các số nguyên thỏa mãn (a,p)=(b,p)=1 thì:^[2]

${\displaystyle q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)\mod p}$

${\displaystyle q_{p}(p-1)\equiv 1\mod p}$

${\displaystyle q_{p}(p+1)\equiv -1\mod p}$

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\mod p}$

Nếu q_p(a) = 0 mod p thì a^p-1 = 1 mod p². Những số nguyên tố thỏa mãn q_p(2) = 0 mod p được gọi là số nguyên tố Wieferichs. Những nghiệm đã biết của phương trình đồng dư q_p(a) = 0 mod p với những giá trị nhỏ của a là:^[2]

a	p	Dãy OEIS
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
11	71
13	2, 863, 1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A090968

Một cặp số nguyên tố (p,r) thỏa mãn q_p(r) = 0 mod p và q_r(p) = 0 mod r được gọi là cặp số Wieferich.

Chú thích

1. Weisstein, Eric W., "Fermat Quotient" từ MathWorld.
2. ^ Fermat Quotient tại The Prime Glossary
3. Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, p216

Liên kết ngoài

• fermatquotients and wieferich-primes (pdf-document)