Martingale Doob

Một martingale Doob (còn gọi là martingale Levy) là một quá trình ngẫu nhiên tính giá trị của một biến ngẫu nhiên và có tính chất martingale theo một bộ lọc cho trước. Nó có thể được xem là giá trị xấp xỉ của một biến ngẫu nhiên dựa vào thông tin tích lũy được cho tới một thời điểm nhất định.

Định nghĩa

Một martingale Doob (đặt theo tên của J. L. Doob)^{[cần dẫn nguồn]} là một cách xây dựng martingale nói chung như sau. Ta xét một dãy các biến ngẫu nhiên

${\displaystyle {\vec {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{n}}$

nhận giá trị trong tập ${\displaystyle A}$. Đối tượng quan tâm là một hàm ${\displaystyle f:A^{n}\to \mathbb {R} }$. Định nghĩa:

${\displaystyle B_{i}=E_{X_{i+1},X_{i+2},...,X_{n}}[f({\vec {X}})|X_{1},X_{2},...X_{i}]}$

trong đó giá trị kì vọng trên là một biến ngẫu nhiên do việc tính kì vọng chỉ dựa trên

${\displaystyle X_{i+1},X_{i+2},...,X_{n},}$

và

${\displaystyle X_{1},X_{2},...X_{i}}$

vẫn được xem là biến ngẫu nhiên. Có thể chứng minh rằng ${\displaystyle B_{i}}$ là một martingale cho bất kì dãy ${\displaystyle X_{i}}$ nào. Do đó nếu ta có thể chặn trên độ chênh lệch

${\displaystyle |B_{i+1}-B_{i}|}$,

thì có thể áp dụng bất đẳng thức Azuma và kết luận với xác suất cao rằng ${\displaystyle f({\vec {X}})}$ tập trung xung quanh giá trị kì vọng

${\displaystyle E[f({\vec {X}})]=B_{0}.}$

Bất đẳng thức McDiarmid

Một phương pháp để chặn trên độ chênh lệch và áp dụng bất đẳng thức Azuma cho một martingale Doob là bất đẳng thức McDiarmid.^{[cần dẫn nguồn]} Giả sử ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ là độc lập và giả sử ${\displaystyle f}$ thỏa mãn

${\displaystyle \sup _{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},{\hat {x}}_{i}}|f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})-f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},{\hat {x}}_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})|\leq c_{i}\qquad {\text{khi}}\quad 1\leq i\leq n\;.}$

(Nói cách khác, việc thay đổi giá trị ${\displaystyle x_{i}}$ của tọa độ thứ ${\displaystyle i}$ làm thay đổi giá trị của ${\displaystyle f}$ bởi một lượng không quá ${\displaystyle c_{i}}$.)

Do đó

${\displaystyle |B_{i+1}-B_{i}|\leq c_{i}}$

và theo bất đẳng thức Azuma, ta có bất đẳng thức McDiarmid cho mọi ${\displaystyle \varepsilon >0}$:

${\displaystyle \Pr \left\{f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})-E[f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]\geq \varepsilon \right\}\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right)}$

và

${\displaystyle \Pr \left\{E[f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]-f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\geq \varepsilon \right\}\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right)}$

và

${\displaystyle \Pr \left\{|E[f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]-f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})|\geq \varepsilon \right\}\leq 2\exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right).\;}$

Xem thêm

• Bất đẳng thức Markov
• Bất đẳng thức Chebyshev
• Bất đẳng thức Bernstein (lý thuyết xác suất)

Tham khảo

• McDiarmid, Colin (1989). “On the Method of Bounded Differences” (PDF). Surveys in Combinatorics. 141: 148–188. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 27 tháng 9 năm 2011. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2011.

Tham khảo