Hệ tọa độ Descartes

Một Hệ tọa độ Descartes (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều (three-dimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)

Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Hình 1 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ: (2,3) (màu xanh lá cây), (-3,1) (màu xanh đỏ), (-1.5,-2.5) (màu xanh da trời) và (0,0), gốc tọa độ, (màu tím).

Hình 2 - Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này có phương trình: x^2 + y^2 = 4.

Hình 3 - Hệ tọa độ Đề-Các với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên.

Tọa độ vectơ

Nếu ${\displaystyle {\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}$ thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$. x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của ${\displaystyle {\vec {a}}}$.

Ký hiệu ${\displaystyle {\vec {a}}=(x;y)}$

Tọa độ điểm

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

• ${\displaystyle \forall x\neq 0,M(x;0)\in Ox}$
• ${\displaystyle \forall y\neq 0,M(0;y)\in Oy}$
• Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có ${\displaystyle M\left(x,y\right)\Leftrightarrow {\overrightarrow {OM}}=(x;y)}$

Tìm tọa độ của vectơ biết tọa độ điểm đầu và cuối

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$, khi đó ta có ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}\right)}$

Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$, khi đó ${\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}$ là độ dài của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là ${\displaystyle AB={\sqrt {\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}}}$

Góc giữa 2 vectơ

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2})}$. Gọi ${\displaystyle \alpha }$ là góc giữa 2 vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$. Khi đó ${\displaystyle \cos \alpha ={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} \over {\sqrt {\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)}}}}$

Một số biểu thức tọa độ

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ ta có ${\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{1};ka_{2})}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2})}$ ta có

• ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$ cùng phương ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}}$

Cho đoạn thẳng AB có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$, Khi đó ${\displaystyle I\left({x_{A}+x_{B} \over 2};{y_{A}+y_{B} \over 2}\right)}$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A})}$, ${\displaystyle B(x_{B};y_{B})}$ và ${\displaystyle C(x_{C};y_{C})}$, khi đó ${\displaystyle G\left({x_{A}+x_{B}+x_{C} \over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} \over 3}\right)}$ là tọa độ trọng tâm của ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$

Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

Tranh 4 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục y có chiều chạy xa người quan sát.	Tranh 5 - Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục x có chiều chạy về phía người quan sát.
Tranh 6 - The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right.	Tranh 7 - The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes.

Tọa độ của điểm

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

• ${\displaystyle \forall xy\neq 0,A(x,y,0)\in Oxy}$
• ${\displaystyle \forall xz\neq 0,A(x,0,z)\in Oxz}$
• ${\displaystyle \forall yz\neq 0,A(0,y,z)\in Oyz}$
• ${\displaystyle \forall x\neq 0,M(x;0;0)\in Ox}$
• ${\displaystyle \forall y\neq 0,M(0;y;0)\in Oy}$
• ${\displaystyle \forall z\neq 0,M(0;0;z)\in Oz}$

Tọa độ của vectơ

Trong không gian, cho vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}$, khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$.

Ký hiệu: ${\displaystyle {\vec {a}}=(x;y;z)}$

Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$, khi đó ta có ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}\right)}$

Cho điểm ${\displaystyle M(x_{M};y_{M};z_{M})}$, khi đó ta có ${\displaystyle {\vec {OM}}=(x_{M};y_{M};z_{M})}$ và ngược lại

Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$, khi đó ${\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\right\vert ={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}$ là độ dài của vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Cho 2 điểm ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là ${\displaystyle AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}$

Góc giữa 2 vectơ

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})}$. Gọi ${\displaystyle \alpha }$ là góc giữa 2 vectơ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}}$. Khi đó

${\displaystyle \cos(\alpha )={{\vec {a}}.{\vec {b}} \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})}}}}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\left\vert [{\vec {a}};{\vec {b}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }}$

Một số biểu thức tọa độ

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ ta có ${\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})}$

Cho ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}$ và ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})}$ ta có

• ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$
• ${\displaystyle \left[{\vec {a}},{\vec {b}}\right]={\big (}{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}};{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}})}$

Cho đoạn thẳng AB có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$ và ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$, Khi đó ${\displaystyle I\left({x_{A}+x_{B} \over 2};{y_{A}+y_{B} \over 2};{z_{A}+z_{B} \over 2}\right)}$ là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ có ${\displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}$, ${\displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}$ và ${\displaystyle C(x_{C};y_{C};z_{C})}$, khi đó ${\displaystyle G\left({x_{A}+x_{B}+x_{C} \over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} \over 3};{z_{A}+z_{B}+z_{C} \over 3}\right)}$ là tọa độ trọng tâm của ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$

Tham khảo

1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao

Đọc thêm

• Không gian nhiều chiều
• Hình học phi Euclide
• Không-thời gian
• Hệ tọa độ cực
• Hình học Euclid

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Cartesian Coordinates" từ MathWorld.
• Đại số vectơ và phương pháp tọa độ Lưu trữ 2006-06-22 tại Wayback Machine