Народився 28 травня1997 року в місті Оденсе. Розпочав займатись футболом на батьківщині в клубах «Несбю» та «Оденсе». У 2014 році його помітили скаути німецького«Шальке 04» і запросили в команду[1]. Після двох сезонів в академії кобальтових у червні 2016 року він був проданий в «Санкт-Паулі»[2], де став грати за дублерів.
На початку 2017 року Расмуссен перейшов до Норвезького«Русенборга»[3]. 29 березня у матчі на Суперкубок Норвегії проти «Бранна» Якоб дебютував за основний склад[4]. 5 квітня в матчі проти «Саннефіорда» він дебютував у Тіппелізі[5]. У своєму першому сезоні в команді він став чемпіоном країни, а також двічі, у 2017 та 2018 роках, здобував Суперкубок Норвегії.
5 липня 2018 року Расмуссен перейшов в італійське «Емполі», підписавши з командою чотирирічний контракт, але вже у січні наступного року гравця придбала «Фіорентина», втім залишила в «Емполі» до кінця сезону[6]. Зігравши за цб команду 14 ігор, данець не зумів врятувати її від вильоту з Серії А.
Провівши другу половину 2019 року у складі «фіалок», на початку 2020 року був відданий в оренду до німецького друголігового «Ерцгебірге Ауе», а влітку того ж року — до «Вітесса» з першості нідерландів.
14 липня 2023 року повернувся на батьківщину, підписавши контракт на чотири роки зі столичним клубом «Брондбю»[7].
Виступи за збірні
2012 року дебютував у складі юнацької збірної Данії, взяв участь у 31 іграх на юнацькому рівні, відзначившись одним забитим голом.
