Числа Ейлера I роду

В комбінаториці числом Ейлера I роду із ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$, що позначається ${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$ чи ${\displaystyle E(n,k)}$, називається кількість перестановок порядку ${\displaystyle n}$ з ${\displaystyle k}$, тобто таких перестановок ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})}$, що існує рівно ${\displaystyle k}$ індексів ${\displaystyle j}$, для яких ${\displaystyle \pi _{j}<\pi _{j+1}}$.

Числа Ейлера I роду мають також геометричну і імовірнісну інтерпретацію: число ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\left\langle {n \atop k}\right\rangle }$ виражає ${\displaystyle n}$-мірний об'єм частини ${\displaystyle n}$-мірного гіперкуба, обмеженого ${\displaystyle (n-1)}$-мірними гіперплощинами ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k}$ і ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k-1}$; воно виражає імовірність того, що сума n незалежних змінних з рівномірним розподілом на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ лежить між ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k}$.

Приклад

Перестановки ${\displaystyle \pi }$ четвертого порядку, повинні задовільняти одній із двох нерівностей: ${\displaystyle \pi _{1}<\pi _{2}<\pi _{3}>\pi _{4}}$ чи ${\displaystyle \pi _{1}>\pi _{2}<\pi _{3}<\pi _{4}}$. Таких перестановок рівно 11 штук:

1324 1423 2314 2413 3412 1243 1342 2341 2134 3124 4123

Тому ${\displaystyle \left\langle {4 \atop 2}\right\rangle =11}$.

Властивості

Для заданого натурального числа ${\displaystyle n}$ існує єдина перестановка тобто ${\displaystyle (n,n-1,n-2,\dots ,1)}$. Також існує єдина перестановка, яка має ${\displaystyle n-1}$ тобто ${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n-1)}$. Таким чином,

${\displaystyle \left\langle {n \atop 0}\right\rangle =\left\langle {n \atop n-1}\right\rangle =1}$ для всіх натуральних ${\displaystyle n}$.

Дзеркальним відображенням перестановки з ${\displaystyle m}$ є перестановка з ${\displaystyle n-m-1}$. Таким чином,

${\displaystyle \left\langle {n \atop m}\right\rangle =\left\langle {n \atop n-m-1}\right\rangle .}$

Трикутник чисел Ейлера першого роду

Значення чисел Ейлера ${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$ для малих значень ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ наведені в наступній таблиці (послідовність A008292 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	0
2	1	1	0
3	1	4	1	0
4	1	11	11	1	0
5	1	26	66	26	1	0
6	1	57	302	302	57	1	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0

Легко зрозуміти, що значення на головній діагоналі матриці задаються формулою: ${\displaystyle \left\langle {n \atop n}\right\rangle =[n=0].}$

Трикутник Ейлера, як і трикутник Паскаля, симетричний зліва і справа. Але в цьому випадку закон симетрії відмінний:

${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle =\left\langle {n \atop n-1-k}\right\rangle }$

при ${\displaystyle n>0}$. Тобто перестановка має ${\displaystyle n-1-k}$ тоді і тільки тоді, коли її «відображення» має ${\displaystyle k}$.

Рекурентна формула

Кожна перестановка ${\displaystyle \rho =\rho _{1}\dots \rho _{n-1}}$ із набору ${\displaystyle \{1,2,3,n-1\}}$ приводить до ${\displaystyle n}$ перестановок вигляду${\displaystyle \{1,2,3,n\}}$, якщо ми вставляємо новий елемент n всіма можливими способами. Вставляючи ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle j}$-ту позицію, отримуємо перестановку ${\displaystyle \pi =\rho _{1}\dots \rho _{j-1}n\rho _{j}\dots \rho _{n-1}}$. Кількість підйомів в ${\displaystyle \rho }$ дорівнює кількості підйомів в ${\displaystyle \rho }$, якщо ${\displaystyle j=1}$ чи, якщо ${\displaystyle \pi _{j-1}<\pi _{j}}$; і воно більше кількості підйомів в ${\displaystyle \rho }$, якщо ${\displaystyle j=n}$ чи, якщо ${\displaystyle \rho _{j-1}>\rho _{j}}$. Тому, ${\displaystyle \pi }$ в сумі має

${\displaystyle (k+1)\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle }$

способів побудови перестановок із ${\displaystyle \rho }$, які мають ${\displaystyle k}$ підйомів, плюс

${\displaystyle ((n-2)-(k-1)+1)\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle }$

способів побудови перестановок із ${\displaystyle \rho }$, які мають ${\displaystyle k-1}$ підйомів. Тоді рекурентна формула для цілих ${\displaystyle n>0}$ має вигляд:

${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle =(k+1)\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle +(n-k)\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle .}$

Покладемо також, що

${\displaystyle \left\langle {0 \atop k}\right\rangle =[k=0]}$

(для цілих ${\displaystyle k}$), і припустимо, що при ${\displaystyle k<0}$.

Зв'язок з біноміальними коефіцієнтами і степеневими формулами

Зв'язок між звичайними степенями та узагальненими біноміальними коефіцієнтами:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle {x+k \choose n}}$

для цілих ${\displaystyle n\geq 0}$.

${\displaystyle x^{2}={x \choose 2}+{x+1 \choose 2}}$

${\displaystyle x^{3}={x \choose 3}+4{x+1 \choose 3}+{x+2 \choose 3}}$

${\displaystyle x^{4}={x \choose 4}+11{x+1 \choose 4}+11{x+2 \choose 4}+{x+3 \choose 4}}$

і т. д. Ці тотожності легко доводяться методом математичної індукції.

Варто зазначити, що ця формула представляє ще один спосіб знаходження суми перших ${\displaystyle n}$ квадратів:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\langle {2 \atop 0}\right\rangle {k \choose 2}+\left\langle {2 \atop 1}\right\rangle {k+1 \choose 2}=\sum _{k=1}^{n}{k \choose 2}+{k+1 \choose 2}=}$

${\displaystyle =\left({1 \choose 2}+{2 \choose 2}+\dots +{n \choose 2}\right)+\left({2 \choose 2}+{3 \choose 2}+\dots +{n+1 \choose 2}\right)=}$

${\displaystyle ={n+1 \choose 3}+{n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$

Явні формули для чисел Ейлера

Оскільки рекурентність для чисел Ейлера достатньо складна, вони задовільняють лише небагатьом властивостям:

${\displaystyle \left\langle {n \atop m}\right\rangle =\sum _{k=0}^{m}{n+1 \choose k}(m+1-k)^{n}(-1)^{k}}$

${\displaystyle m!\left\{{n \atop m}\right\}=\sum _{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle {k \choose n-m}}$

домножуючи першу тотожність на ${\displaystyle z^{n-m}}$ і сумуючи по ${\displaystyle m}$, отримуємо:

${\displaystyle \sum _{m}\left\{{n \atop m}\right\}m!z^{n-m}=\sum _{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle (z+1)^{k}.}$

Заміняючи ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle z+1}$ і прирівнюючи коефіцієнти при ${\displaystyle z^{k}}$, отримуємо другу тотожність. Таким чином, ці дві тотожності еквівалентні. Перша тотожність застосовується при малих значеннях ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle \left\{{n \atop 0}\right\}=1;}$

${\displaystyle \left\{{n \atop 1}\right\}=2^{n}-n-1;}$

${\displaystyle \left\{{n \atop 2}\right\}=3^{n}-(n+1)2^{n}+{n+1 \choose 2}.}$

Сумування чисел Ейлера I роду

Із комбінаторного визначення очевидно, що сума чисел Ейлера I роду, розміщених в n-му рядку дорівнює ${\displaystyle n!}$, оскільки вона дорівнює кількості всіх перестановок порядку ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}\left\langle {n \atop m}\right\rangle =n!}$

Знакозмінні суми чисел Ейлера I роду при фіксованому значенні n зв'язані з числами Бернуллі ${\displaystyle B_{n+1}}$:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle ={\frac {2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}},}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {n \choose m}^{-1}=(n+1)B_{n},}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {n-1 \choose m}^{-1}=0.}$

Також справедливі такі тотожності:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{2^{k}}}=\sum _{k=1}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}3^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle =2^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{3^{k}}}}$

Генератриса і тотожність Ворпицького

Генератриса чисел Ейлера I роду має вигляд:

${\displaystyle {\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {n \atop m}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Числа Ейлера I роду зв'язані також з генератрисою послідовності ${\displaystyle n}$-х степенів:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{n}x^{k}={\frac {\sum _{m=0}^{n-1}\left\langle {n \atop m}\right\rangle x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}.}$

Крім того, Z-перетворення із

${\displaystyle \left\{n^{k}\right\}_{k=1}^{N}}$

є генератором перших N рядків трикутник чисел Ейлера, коли знаменник ${\displaystyle n}$-й елемента перетворення скорочується множенням на ${\displaystyle (z-1)^{j+1}}$:

${\displaystyle Z\left[\{n^{k}\}_{k=1}^{3}=\left\{{\frac {z}{(z-1)^{2}}},{\frac {z+z^{2}}{(z-1)^{3}}},{\frac {z+4z^{2}+z^{3}}{(z-1)^{4}}}\right\}\right]}$

Тотожність Ворпицького виражає ${\displaystyle x^{n}}$ як суму узагальнених біноміальних коефіцієнтів:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{m=0}^{n-1}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {x+m \choose n}.}$

Програми на PARI/GP для обчислення чисел Ейлера

\\ рекурентна формула{ E(n, k) = if(k<1|k>n, 0, if(n==1, 1, k*E(n-1,k) + (n-k+1)*E(n-1,k-1) ) ) } \\ явна формула { E(n, k) = sum(j=0, k, (-1)^j * (k-j)^n * binomial(n+1,j) ) }

Література

• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник^[ru]. Числа Эйлера // Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science^[en]. — М. : Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. — 703 с. — ISBN 5-94774-560-7.
• Д. Кнут. Искусство программирования. Т.1: Основные алгоритмы — М.: Вильямс — 2006 г.
• Eric W. Weisstein, Eulerian Number at MathWorld
• Eric W. Weisstein, Worpitzky’s Identity at MathWorld
• Eulerian Numbers at MathPages