Фібономіальний коефіцієнт

У математиці фібономіальні коефіцієнти або біноміальні коефіцієнти Фібоначчі визначаються як

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}\cdots F_{n-k+1}}{F_{k}F_{k-1}\cdots F_{1}}}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(n-k)!_{F}}}}$,

де ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ — це невід'ємні цілі числа, ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, ${\displaystyle F_{j}}$ — ${\displaystyle j}$-е число Фібоначчі, а ${\displaystyle n!_{F}}$ — факторіал Фібоначчі числа ${\displaystyle n}$, тобто

${\displaystyle {n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},}$

де ${\displaystyle 0!_{F}}$ — порожній добуток, що дорівнює 1.

Частинні значення

Фібономіальні коефіцієнти — це натуральні числа. Деякі частинні значення:

${\displaystyle {\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1}$,

${\displaystyle {\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{n}}$,

${\displaystyle {\binom {n}{2}}_{F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1},}$

${\displaystyle {\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2,}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{n-k}}_{F}.}$

Фібономіальний трикутник

Фібономіальні коефіцієнти (послідовність A010048 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) подібні до біномінальних коефіцієнтів і їх можна представити у вигляді трикутника, що подібний трикутнику Паскаля.

Ось перші рядки:

${\displaystyle n=0}$									1
${\displaystyle n=1}$								1		1
${\displaystyle n=2}$							1		1		1
${\displaystyle n=3}$						1		2		2		1
${\displaystyle n=4}$					1		3		6		3		1
${\displaystyle n=5}$				1		5		15		15		5		1
${\displaystyle n=6}$			1		8		40		60		40		8		1
${\displaystyle n=7}$		1		13		104		260		260		104		13		1

З рекурентного співвідношення

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}=F_{n-k+1}{\binom {n-1}{k-1}}_{F}+F_{k-1}{\binom {n-1}{k}}_{F}}$

випливає, що фібономіальні коефіцієнти завжди натуральні числа.

Фібономіальні коефіцієнти можна представити у термінах біноміальних коефіцієнтів Гауса та числа золотого перетину ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}=\varphi ^{k\,(n-k)}{\binom {n}{k}}_{-1/\varphi ^{2}}}$.

Застосування

Дов Джарден довів, що фібономіальні коефіцієнти з'являються як коефіцієнти рівняння, що містять степені послідовних чисел Фібоначчі, а саме Джерден довів, що будь-яка узагальнена послідовність Фібоначчі ${\displaystyle G_{n}}$, тобто послідовність, яка визначається рекурентним співвідношенням ${\displaystyle G_{n}=G_{n-1}+G_{n-2}}$ для кожного ${\displaystyle n}$, задовольняє рівняння

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k+1}(-1)^{j(j+1)/2}{\binom {k+1}{j}}_{F}G_{n-j}^{k}=0,}$

для кожного цілого числа ${\displaystyle n}$, і для кожного невід'ємного цілого числа ${\displaystyle k}$.

Список літератури

• Benjamin, Arthur T.; Plott, Sean S., A combinatorial approach to Fibonomial coefficients (PDF), Dept. of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711, архів оригіналу (PDF) за 15 лютого 2013, процитовано 4 квітня 2009
• Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus, Institute of Computer Science, Bia lystok University, Poland.
• Weisstein, Eric W. Fibonomial Coefficient(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Dov Jarden, Recurring Sequences (second edition 1966), pages 30–33.