Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду
. Вона має вигляд:
Названа на честь італійського математика Джироламо Кардано, який і опублікував її вперше в 1545[1]. Одразу після публікації Нікколо Тарталья звинуватив Кардано в плагіаті: останній у трактаті «Ars Magna» розкрив алгоритм розв'язання кубічних рівнянь, що його довірив йому Тарталья в 1539 році під обіцянку не публікувати. Хоча Кардано не приписував алгоритм собі і чесно повідомив у книзі, що авторами є Сціпіон дель Ферро і Тарталья, алгоритм сьогодні відомий під незаслуженою назвою «формула Кардано».
Виведення формули Кардано
Нехай дано рівняння
Будемо шукати його розв'язок у вигляді
Отримаємо рівняння
![{\displaystyle \ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db4766c7c715da5e63a1f175f52d3c70f002160)
Введемо додаткову умову для змінних
утворену систему
розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:
, де
— дискримінант кубічного рівняння, звідки
Розв'язок рівняння подається у вигляді
.
В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення.
Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб
.
Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.
Див. також
Примітки
Література