Народився 31 січня1998 року в місті Стокгольм. Розпочав займатись футболом у невеличкому столичному клубі Ängby IF[en], а згодом потрапив в академію клубу «Броммапойкарна». 3 квітня 2015 року в матчі проти «Естерсунда» він дебютував у Супереттан, другому за рівнем дивізіоні країни[2]. За підсумками того сезону клуб вилетів у третій за рівнем дивізіон. Там 8 жовтня в поєдинку проти «Акрополіса» Фелікс забив свій перший гол за «Броммапойкану»[3], а команда зайнявши перше місце у своїй групі з першої спроби повернулась в Супереттан. Загалом за рідну команду «Броммапойкарна», Беймо провів два сезони, взявши участь у 34 матчах чемпіонату.
На початку 2017 року Беймо перейшов в «Юргорден». 3 квітня в матчі проти «Сіріуса» він дебютував у Аллсвенскан, вищому дивізіоні країни[4]. 16 вересня в поєдинку проти «Еребру» Фелікс забив свій перший гол за «Юргорден»[5]. У 2018 році він допоміг команді завоювати Кубок Швеції[6].
12 червня 2018 року Беймо перейшов в німецький«Вердер». Сума трансферу склала 3 млн євро, що зробила Беймо найдорожчим захисником, який коли-небудь залишав шведський Аллсвенскан[7][8][9]. Втім у новій команді Беймо лише зрідка грав за дублюючу команду і у серпні 2019 року був відданий назад до Швеції в оренду до кінця року у «Мальме»[10].
