Теорема Крейна–Рутмана

У функціональному аналізі теорема Крейна–Рутмана є узагальненням теореми Перрона–Фробеніуса для нескінченновимірних банахових просторів.^[1] Її було доведено Крейном і Рутманом у 1948 році.^[2]

Формулювання теореми

Нехай ${\displaystyle X}$ — банахів простір, а ${\displaystyle K\subset X}$ — опуклий конус, такий, що ${\displaystyle K\cap -K=\{0\}}$, а ${\displaystyle K-K}$ є щільним в ${\displaystyle X}$, тобто замиканням множини ${\displaystyle \{u-v\mid u,v\in K\}=X}$. Опуклий конус ${\displaystyle K}$ також відомий як загальний конус. Нехай ${\displaystyle T\colon X\to X}$ — ненульовий компактний оператор і вважаємо, що він додатний, тобто ${\displaystyle T(K)\subset K}$ і що його спектральний радіус^[en] ${\displaystyle r(T)}$ строго більше нуля.

Тоді ${\displaystyle r(T)}$ є власним значенням оператора ${\displaystyle T}$ з додатним власним вектором, що означає, що існує таке ${\displaystyle u\in K\setminus \{0\}}$, що ${\displaystyle T(u)=r(T)u}$.

Теорема де Пагтера

Якщо вважати додатний оператор ${\displaystyle T}$ ідеальним незвідним, а саме таким, що не існує такого ідеалу ${\displaystyle J\neq 0}$ з простору ${\displaystyle X}$, що ${\displaystyle TJ\subset J}$, тоді теорема де Пагтера^[3] стверджує, що ${\displaystyle r(T)>0}$.

Тому для ідеальних незвідних операторів припущення ${\displaystyle r(T)>0}$ не потрібне.

Див.також

• Компактний оператор
• Спектральна теорема

Примітки

1. Du, Y. (2006). 1. Krein–Rutman Theorem and the Principal Eigenvalue. Order structure and topological methods in nonlinear partial differential equations. Vol. 1. Maximum principles and applications. Series in Partial Differential Equations and Applications. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-256-624-4. MR 2205529.
2. Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1948). Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space. Uspekhi Mat. Nauk. New Series (Russian) . 3 (1(23)): 1—95. MR 0027128.. English translation: Kreĭn, M.G.; Rutman, M.A. (1950). Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space. Amer. Math. Soc. Transl. 1950 (26). MR 0038008.
3. de Pagter, B. (1986). Irreducible compact operators. Math. Z. 192 (1): 149—153. doi:10.1007/bf01162028. MR 0835399.