Центральне питання теорії вузлів — чи відображають дві діаграми один і той самий вузол. Один з інструментів, що використовуються для відповіді на це питання — многочлен вузла, який є інваріантом вузла. Якщо двом діаграмам відповідають різні многочлени, то вони подають різні вузли. Обернене не завжди істинне.
Скейн-співвідношення (або співвідношення типу Конвея) часто використовують, щоб простим способом визначити многочлен вузла. Неформально кажучи, скейн-співвідношення задає лінійний зв'язок значень многочлена вузла на трьох зачепленнях, які відрізняються одне від одного лише в малій ділянці. Для деяких многочленів, таких як многочлени Конвея, Александера і Джонса, відповідного скейн-співвідношення достатньо, щоб обчислити многочлен рекурсивно. Для інших, таких як многочлен HOMFLY, потрібні складніші алгоритми.
Визначення
У скейн-співвідношенні беруть участь три діаграми зачеплення, ідентичні всюди, крім одного перехрестя. Ці три діаграми мають виражати три можливості, які могли б мати місце на цьому перехресті: нитка може пройти під іншою ниткою, над нею або НЕ перетнутися з нею зовсім. Необхідно розглядати діаграми зачеплень, оскільки зміна навіть одного перехрестя може перетворити діаграму вузла на діаграму зачеплення і навпаки. Залежно від конкретного многочлена вузла, зачеплення, що з'являються в скейн-співвідношенні можуть бути орієнтованими або неорієнтованими.
Три діаграми позначаються так. Розгорніть вузол так, щоб напрямки обох ниток у розглянутому перетині вказували приблизно на північ. В однієї діаграми нитка північно-західного напрямку проходить над північно-східною ниткою, її позначимо 
. В іншої діаграми північно-східна нитка проходить над північно-західною, це 
. Остання діаграма не має цього перетину і позначається 
.
![]()
(Насправді, позначення не залежить від напрямку в тому сенсі, що після заміни всіх напрямків на протилежні, позначення залишається колишнім. Тому многочлени визначаються однозначно і на неорієнтованих вузлах. Однак орієнтація на зачепленні принципово важлива, щоб пам'ятати, в якому порядку виконувалася рекурсія.)
Корисно уявляти це як складання з однієї діаграми двох інших накладенням «латок» з відповідними орієнтаціями.
Щоб рекурсивно визначити многочлен вузла (зачеплення), фіксується функція 
і для будь-якої трійки діаграм і їхніх многочленів, позначених, як було зазначено вище,
або акуратніше
для кожного 
.
(Знаходження функції , яка робить многочлен незалежним від черговості перетинів у рекурсії — непроста задача.)
Формальніше, скейн-співвідношення можна розглядати, як визначення ядра фактор-відображення з планарної алгебри[en] сплетінь[en]. Таке відображення відповідає многочлену вузла, якщо всі замкнуті діаграми відображати в складні види порожніх діаграм.
Приклад
На початку 1960-х років Конвей показав, як обчислити многочлен Александера за допомогою скейн-співвідношень. Оскільки вони рекурсивні, це не настільки очевидно, як оригінальний матричний метод Александера; з іншого боку, частини роботи, виконаної для одного вузла, стосуватимуться інших. Зокрема, мережа діаграм є однаковою для всіх многочленів, пов'язаних зі скейн-співвідношеннями.
Нехай функція 
з діаграм зачеплення в ряди Лорана на 
буде така, що 
і трійка діаграм скейн-співвідношень 
задовольняє рівняння
Тоді P відображає вузол на один із його многочленів Александера.
У цьому прикладі ми обчислюємо многочлен Александера п'ятилисника (
), альтернованого вузла, на мінімальній діаграмі якого є п'ять перетинів. На кожному етапі ми показуємо рівність, яка включає складніше зачеплення і дві простіші діаграми. Зауважте, що складніше зачеплення на кожному кроці нижче, крім останнього, розташоване праворуч. Для зручності нехай A = x−1/2 −x1/2.
Для початку створюємо дві діаграми, змінивши один із перетинів п'ятилисника (виділено жовтим) так
- P (
) = A × P (
) + P ()
Друга діаграма насправді є трилисником; перша діаграма — це два безвузли з чотирма перетинами. Змінивши останню,
- P (
) = A × P (
) + P (
)
знову маємо трилисник і два безвузли з двома перетинами (зачеплення Гопфа[1]). Змінення трилисника
- P (
) = A × P (
) + P (
)
дає незавузлений вузол і знову зачеплення Гопфа. Змінення зачеплення Гопфа
- P (
) = A × P (
) + P (
)
дає зачеплення з 0 перетинів (тривіальне) та незавузлений вузол. Тривіальне зачеплення вимагає певних хитрощів:
- P (
) = A × P (
) + P (
)
Обчислення
Тепер ми маємо достатньо рівностей, щоб обчислити многочлени всіх зачеплень, з якими ми стикалися, і можемо використати ці рівності у зворотному порядку, щоб отримати вузол п'ятилисник. Розрахунок описано в таблиці, де ? позначає невідому величину, яку ми виводимо з кожної рівності:
| Назва вузла
|
Діаграми
|
P (діаграма)
|
| скейн-співвідношення
|
?
|
P повністю
|
| Тривіальний вузол
|
|
визначено як 1
|
|
x→1
|
| Тривіальне зачеплення
|
|
1=А? +1
|
0
|
x→0
|
| Зачеплення Гопфа
|
|
0=A1+?
|
-А
|
x→x 1/2 -x −1/2
|
| Трилисник
|
|
1=A(-A)+?
|
1+А 2
|
x→x −1 -1+x
|
| Зачеплення з 4 перетинами
|
|
-A=A(1+A 2)+?
|
-A(2+A 2)
|
x→-x −3/2 +x −1/2 -x 1/2 +x 3/2
|
| П'ятилисник
|
|
1+A 2 =A(-A(2+A 2))+?
|
1+3А 2 +А 4
|
x→x −2 -x −1 +1-x+x 2
|
Отже, многочлен Александера для п'ятилисника дорівнює P(x) = x −2 -x −1 +1 -x +x 2.
Посилання
