Рівняння Дена — Сомервіля

Рівняння Дена — Сомервіля повний набір лінійних співвідношень на кількість граней різних розмірностей у простого многогранника.

Формулювання

Для даного простого ${\displaystyle n}$-вимірного многогранника ${\displaystyle P}$ позначимо через ${\displaystyle f_{k}}$ кількість граней ${\displaystyle P}$ розмірності ${\displaystyle k}$, зокрема ${\displaystyle f_{n}=1}$. Розглянемо формальну суму

${\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}}$

тоді рівняння Дена — Сомервіля мають вигляд

${\displaystyle h_{k}=h_{n-k}}$

для кожного цілого ${\displaystyle k}$.

Зв'язані означення

• Послідовність ${\displaystyle (f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})}$ називається f-вектор многогранника.
• Послідовність ${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})}$ називається h-вектор многогранника.

Історія

У розмірностях 4 і 5, співвідношення були описані Деном^[1]. В загальному випадку рівняння були описані Сомервілем в 1927.

Примітки

1. M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561–586