Поліноми Ґеґенбауера
Ортогональні поліноми
Ґеґенбауера
Відкриті
Леопольд Ґеґенбауер
Формула
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
(
α α -->
)
n
− − -->
k
k
!
(
n
− − -->
2
k
)
!
(
2
z
)
n
− − -->
2
k
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}}
Диференціальне рівняння
(
1
− − -->
z
2
)
d
2
y
(
z
)
d
z
2
− − -->
(
2
α α -->
+
1
)
z
d
y
(
z
)
d
z
+
n
(
n
+
2
α α -->
)
y
(
z
)
=
0
{\displaystyle (1\!-\!z^{2}){d^{2}y(z) \over dz^{2}}\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)z{dy(z) \over dz}\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )y(z)=0}
Визначені на
[
− − -->
1
,
+
1
]
{\displaystyle \ [-1,+1]}
Вага
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}
Норма
2
1
− − -->
2
α α -->
π π -->
Γ Γ -->
(
n
+
2
α α -->
)
n
!
(
n
+
α α -->
)
[
Γ Γ -->
(
α α -->
)
]
2
{\displaystyle {\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}}
Примітки
Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми , ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}
і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева . Їх можна явно записати у вигляді суми
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
Γ Γ -->
(
n
− − -->
k
+
α α -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
k
!
(
n
− − -->
2
k
)
!
(
2
z
)
n
− − -->
2
k
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
(
α α -->
)
n
− − -->
k
k
!
(
n
− − -->
2
k
)
!
(
2
z
)
n
− − -->
2
k
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}
де
Γ Γ -->
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
— гамма-функція ,
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }
позначає цілу частину числа
n
/
2
{\displaystyle n/2}
, а
(
⋅ ⋅ -->
)
m
{\displaystyle (\cdot )_{m}}
— символ Похгаммера .
Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження
α α -->
>
− − -->
1
2
{\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}
, хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного
α α -->
{\displaystyle \alpha }
.
Згідно наведено вище означення
C
n
(
0
)
(
z
)
=
0
{\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)=0}
і часто у випадку
α α -->
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
функцію
C
n
(
0
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)}
перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями» ).
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі . Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера [ 1] (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики у Чернівецькому універститеті , на той час — Університеті Франца-Йосифа (нім. Franz-Josephs-Universität ).
Приклади
Графіки поліномів Ґеґенбауера при
α α -->
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
Перші шість поліномів Ґеґенбауера:
C
0
α α -->
(
z
)
=
1
,
C
1
α α -->
(
z
)
=
2
α α -->
z
,
C
2
α α -->
(
z
)
=
2
α α -->
(
1
+
α α -->
)
z
2
− − -->
α α -->
,
C
3
α α -->
(
z
)
=
4
3
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
z
3
− − -->
2
α α -->
(
1
+
α α -->
)
z
,
C
4
α α -->
(
z
)
=
2
3
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
(
3
+
α α -->
)
z
4
− − -->
2
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
z
2
+
1
2
α α -->
(
1
+
α α -->
)
,
C
5
α α -->
(
z
)
=
4
15
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
(
3
+
α α -->
)
(
4
+
α α -->
)
z
5
− − -->
4
3
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
(
3
+
α α -->
)
z
3
+
α α -->
(
1
+
α α -->
)
(
2
+
α α -->
)
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(z)&=1,\\C_{1}^{\alpha }(z)&=2\alpha z,\\C_{2}^{\alpha }(z)&=2\alpha (1+\alpha )z^{2}-\alpha ,\\C_{3}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}-2\alpha (1+\alpha )z,\\C_{4}^{\alpha }(z)&={\tfrac {2}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{4}-2\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha (1+\alpha ),\\C_{5}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{15}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )z^{5}-{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{3}+\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z.\end{aligned}}}
Значення в деяких точках
Мають місце такі співвідношення:
при
x
=
0
{\displaystyle x=0}
C
2
n
(
α α -->
)
(
0
)
=
(
− − -->
1
)
n
(
α α -->
)
n
(
n
)
!
{\displaystyle C_{2n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n}(\alpha )_{n}}{(n)!}}}
,
C
2
n
− − -->
1
(
α α -->
)
(
0
)
=
0
;
{\displaystyle C_{2n-1}^{(\alpha )}(0)=0;}
при
x
=
1
{\displaystyle x=1}
C
n
(
α α -->
)
(
1
)
=
(
2
α α -->
)
n
n
!
;
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}};}
при
x
=
− − -->
1
{\displaystyle x=-1}
C
n
(
α α -->
)
(
− − -->
1
)
=
(
− − -->
1
)
n
(
2
α α -->
)
n
n
!
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-1)=(-1)^{n}{\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}.}
Властивості
Функція
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
є поліномом степеня
n
{\displaystyle n}
відносно
z
{\displaystyle z}
та
α α -->
{\displaystyle \alpha }
і визначена для довільних
z
,
α α -->
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle z,\alpha \in \mathbb {C} }
.
Як і всі ортогональні поліноми функція
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
,
α α -->
>
− − -->
1
2
{\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}
, має тільки прості нулі , які всі лежать на відрізку
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
. Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
та
C
n
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n+1}^{(\alpha )}(z)}
чергуються.
Позначимо через
x
m
,
m
=
1
,
… … -->
,
n
,
{\displaystyle x_{m},m=1,\ldots ,n,}
нулі многочлена
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
розташовані у порядку спадання:
C
n
(
α α -->
)
(
x
m
)
=
0
,
− − -->
1
<
x
n
<
x
n
− − -->
1
<
⋯ ⋯ -->
<
x
1
<
1
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x_{m})=0,\qquad -1<x_{n}<x_{n-1}<\cdots <x_{1}<1,}
Нулі розташовані симетрично
x
m
=
− − -->
x
n
− − -->
m
,
m
=
1
,
… … -->
,
[
n
/
2
]
,
{\displaystyle x_{m}=-x_{n-m},m=1,\ldots ,[n/2],}
. Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення
x
m
=
cos
-->
(
θ θ -->
m
)
,
θ θ -->
1
<
⋯ ⋯ -->
<
θ θ -->
m
,
m
=
1
,
… … -->
,
[
n
/
2
]
.
{\displaystyle x_{m}=\cos(\theta _{m}),\quad \theta _{1}<\cdots <\theta _{m},\quad m=1,\ldots ,[n/2].}
Тоді мають місце оцінки:
(
m
− − -->
1
2
)
π π -->
n
≤ ≤ -->
θ θ -->
m
≤ ≤ -->
m
π π -->
n
+
1
,
m
=
1
,
… … -->
,
[
n
/
2
]
.
{\displaystyle \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{n}}\leq \theta _{m}\leq {\frac {m\pi }{n+1}},\quad m=1,\ldots ,[n/2].}
Поліном
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
містить члени лише тієї ж парності, що й саме число
n
{\displaystyle n}
:
C
n
(
α α -->
)
(
− − -->
z
)
=
(
− − -->
1
)
n
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
… … -->
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots .}
Зв'язок з іншими функціями
Поліноми Лежандра
P
n
(
z
)
{\displaystyle P_{n}(z)}
є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при
α α -->
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}
:
P
n
(
z
)
=
C
n
(
1
/
2
)
(
z
)
.
{\displaystyle P_{n}(z)=C_{n}^{(1/2)}(z).}
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:
C
n
(
m
+
1
2
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
1
=
0
n
⋯ ⋯ -->
∑ ∑ -->
k
2
m
+
1
=
0
n
δ δ -->
n
,
l
∏ ∏ -->
j
=
1
2
m
+
1
P
k
j
(
z
)
,
l
=
∑ ∑ -->
j
=
1
2
m
+
1
k
j
,
{\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{2m+1}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{2m+1}P_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{2m+1}k_{j},}
де
δ δ -->
n
,
l
{\displaystyle \delta _{n,l}}
— символ Кронекера , або через похідну від полінома Лежандра:
C
n
(
m
+
1
2
)
(
z
)
=
2
m
m
!
(
2
m
)
!
d
m
d
z
m
P
n
+
m
(
z
)
,
m
=
0
,
1
,
2
,
… … -->
.
{\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)={\frac {2^{m}m!}{(2m)!}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}P_{n+m}(z),\quad m=0,1,2,\ldots .}
P
n
m
(
z
)
=
(
− − -->
1
)
m
π π -->
Γ Γ -->
(
m
+
1
2
)
2
m
(
1
− − -->
z
2
)
m
2
C
n
− − -->
m
(
m
+
1
2
)
(
z
)
.
{\displaystyle P_{n}^{m}(z)={\frac {(-1)^{m}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)2^{m}(1-z^{2})^{\tfrac {m}{2}}C_{n-m}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z).}
Поліноми Чебишева першого роду
T
n
(
z
)
{\displaystyle T_{n}(z)}
є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при
α α -->
→ → -->
0
{\displaystyle \alpha \rightarrow 0}
:
T
n
(
z
)
=
n
2
lim
α α -->
→ → -->
0
(
1
α α -->
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(z)={\frac {n}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left({\frac {1}{\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).}
Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса
α α -->
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
, тобто
C
n
(
0
)
(
z
)
:=
T
n
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(0)}(z):=T_{n}(z)}
.
Поліноми Чебишева другого роду
U
n
(
z
)
{\displaystyle U_{n}(z)}
є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при
α α -->
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
U
n
(
z
)
=
C
n
(
1
)
(
z
)
.
{\displaystyle U_{n}(z)=C_{n}^{(1)}(z).}
У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:
C
n
(
m
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
1
=
0
n
⋯ ⋯ -->
∑ ∑ -->
k
m
=
0
n
δ δ -->
n
,
l
∏ ∏ -->
j
=
1
m
U
k
j
(
z
)
,
l
=
∑ ∑ -->
j
=
1
m
k
j
,
m
=
1
,
2
,
… … -->
,
{\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{m}U_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{m}k_{j},\quad m=1,2,\ldots ,}
де
δ δ -->
n
,
l
{\displaystyle \delta _{n,l}}
— символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:
C
n
(
m
)
(
z
)
=
2
− − -->
m
+
1
m
!
(
m
− − -->
1
)
!
(
n
+
m
)
d
m
d
z
m
T
n
+
m
(
z
)
,
m
=
1
,
2
,
… … -->
.
{\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)={\frac {2^{-m+1}m!}{(m-1)!(n+m)}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}T_{n+m}(z),\quad m=1,2,\ldots .}
Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
:
H
n
(
z
)
=
n
!
2
lim
α α -->
→ → -->
0
(
α α -->
− − -->
n
2
C
n
(
α α -->
)
(
z
α α -->
)
)
.
{\displaystyle H_{n}(z)={\frac {n!}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left(\alpha ^{-{\tfrac {n}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z}{\sqrt {\alpha }}}\right)\right).}
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
2
α α -->
)
n
n
!
2
F
1
(
− − -->
n
,
2
α α -->
+
n
;
α α -->
+
1
2
;
1
2
(
1
− − -->
z
)
)
,
α α -->
+
1
2
≠ ≠ -->
− − -->
n
,
n
∈ ∈ -->
N
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),\qquad \alpha +{\tfrac {1}{2}}\neq -n,n\in \mathbb {N} ,}
C
2
m
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
− − -->
1
)
m
(
α α -->
)
m
m
!
2
F
1
(
− − -->
m
,
α α -->
+
m
;
1
2
;
x
2
)
,
C
2
m
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
− − -->
1
)
m
(
α α -->
)
m
+
1
m
!
2
F
1
(
− − -->
m
,
α α -->
+
m
+
1
;
3
2
;
x
2
)
.
{\displaystyle C_{2m}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m;{\tfrac {1}{2}};x^{2}\right),\qquad C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m+1}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m+1;{\tfrac {3}{2}};x^{2}\right).}
Це співвідношення дозволяє розширити означення функції
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу
n
{\displaystyle n}
. Так означена функція
C
β β -->
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{\beta }^{(\alpha )}(z)}
називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального
β β -->
{\displaystyle \beta }
збігається з поліномом Ґеґенбауера.
Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі
P
n
(
μ μ -->
,
ν ν -->
)
(
z
)
{\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}
при
μ μ -->
=
ν ν -->
=
α α -->
− − -->
1
2
{\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}}
:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
2
α α -->
)
n
(
α α -->
+
1
2
)
n
P
n
(
α α -->
− − -->
1
/
2
,
α α -->
− − -->
1
/
2
)
(
z
)
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z),}
де
(
⋅ ⋅ -->
)
n
{\displaystyle (\cdot )_{n}}
— символ Похгаммера.
Твірна функція та формула Родріга
Твірна функція поліномів Ґеґенбауера :
1
(
1
− − -->
2
z
t
+
t
2
)
α α -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}
Вони можуть бути виражені за допомогою формули Родріга
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
− − -->
2
)
n
n
!
Γ Γ -->
(
n
+
α α -->
)
Γ Γ -->
(
n
+
2
α α -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
2
n
+
2
α α -->
)
(
1
− − -->
z
2
)
− − -->
α α -->
+
1
/
2
d
n
d
z
n
[
(
1
− − -->
z
2
)
n
+
α α -->
− − -->
1
/
2
]
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}
Рекурентні співвідношення
Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу
n
{\displaystyle n}
, яке можна застосовувати для знаходження поліномів при
n
≥ ≥ -->
2
{\displaystyle n\geq 2}
:
C
0
(
α α -->
)
(
z
)
=
1
,
C
1
(
α α -->
)
(
z
)
=
2
α α -->
z
,
C
n
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
=
1
n
+
1
[
2
z
(
n
+
α α -->
)
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
− − -->
(
n
+
2
α α -->
− − -->
1
)
C
n
− − -->
1
(
α α -->
)
(
z
)
]
.
{\displaystyle C_{0}^{(\alpha )}(z)=1,\quad C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z,\quad C_{n+1}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n+1}}[2z(n+\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)].}
Рекурентне співвідношення по індексу
α α -->
{\displaystyle \alpha }
:
C
n
(
α α -->
+
1
)
(
z
)
=
2
α α -->
z
2
+
2
n
(
z
2
− − -->
1
)
+
4
α α -->
− − -->
1
2
α α -->
(
z
2
− − -->
1
)
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
+
(
n
+
2
α α -->
− − -->
2
)
(
n
+
2
α α -->
− − -->
1
)
4
α α -->
(
α α -->
− − -->
1
)
(
z
2
− − -->
1
)
C
n
(
α α -->
− − -->
1
)
(
z
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(z)={\frac {2\alpha z^{2}+2n(z^{2}-1)+4\alpha -1}{2\alpha (z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {(n+2\alpha -2)(n+2\alpha -1)}{4\alpha (\alpha -1)(z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z).}
Інші формули:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
z
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
+
n
+
2
α α -->
− − -->
2
2
α α -->
− − -->
2
C
n
(
α α -->
− − -->
1
)
(
z
)
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=zC_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {n+2\alpha -2}{2\alpha -2}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z),}
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
(
n
+
1
)
z
n
+
2
α α -->
C
n
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
− − -->
2
α α -->
(
z
2
− − -->
1
)
n
+
2
α α -->
C
n
(
α α -->
+
1
)
(
z
)
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(n+1)z}{n+2\alpha }}C_{n+1}^{(\alpha )}(z)-{\frac {2\alpha (z^{2}-1)}{n+2\alpha }}C_{n}^{(\alpha +1)}(z),}
n
(
n
+
2
α α -->
)
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
− − -->
2
α α -->
(
2
α α -->
+
1
)
z
C
n
− − -->
1
(
α α -->
+
1
)
(
z
)
− − -->
4
α α -->
(
α α -->
+
1
)
(
z
2
− − -->
1
)
C
n
− − -->
2
(
α α -->
+
2
)
(
z
)
=
0.
{\displaystyle n(n+2\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-2\alpha (2\alpha +1)zC_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)-4\alpha (\alpha +1)(z^{2}-1)C_{n-2}^{(\alpha +2)}(z)=0.}
Диференціальні властивості
Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом
d
d
z
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
2
α α -->
C
n
− − -->
1
(
α α -->
+
1
)
(
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)}
або у загальному випадку
d
m
d
z
m
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
2
m
(
α α -->
)
m
C
n
− − -->
m
(
α α -->
+
m
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2^{m}(\alpha )_{m}C_{n-m}^{(\alpha +m)}(z).}
Похідна від добутку на вагову функцію
d
d
z
(
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
2
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
)
=
− − -->
(
n
+
1
)
(
n
+
2
α α -->
+
1
)
2
(
α α -->
− − -->
1
)
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
3
2
C
n
+
1
(
α α -->
− − -->
1
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left((1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right)=-{\frac {(n+1)(n+2\alpha +1)}{2(\alpha -1)}}(1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {3}{2}}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z).}
Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру
α α -->
{\displaystyle \alpha }
також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:[ 6]
d
d
α α -->
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
− − -->
1
(
2
(
1
+
(
− − -->
1
)
n
− − -->
k
)
(
k
+
α α -->
)
(
n
+
k
+
2
α α -->
)
(
n
− − -->
k
)
C
k
(
α α -->
)
(
z
)
+
(
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
α α -->
)
(
2
k
+
2
α α -->
+
1
)
+
2
(
n
+
k
+
2
α α -->
)
)
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {2(1+(-1)^{n-k})(k+\alpha )}{(n+k+2\alpha )(n-k)}}C_{k}^{(\alpha )}(z)+\left({\frac {2(k+1)}{(k+2\alpha )(2k+2\alpha +1)}}+{\frac {2}{(n+k+2\alpha )}}\right)C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).}
Диференціальне рівняння
Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння , яке називають рівнянням Ґеґенбауера
(
1
− − -->
z
2
)
d
2
y
(
z
)
d
z
2
− − -->
(
2
α α -->
+
1
)
z
d
y
(
z
)
d
z
+
n
(
n
+
2
α α -->
)
y
(
z
)
=
0.
{\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}y(z)}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}y(z)}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )y(z)=0.}
Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді
y
(
z
)
=
A
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
+
B
(
1
− − -->
z
2
)
1
− − -->
2
α α -->
4
Q
n
+
α α -->
− − -->
1
2
1
2
− − -->
α α -->
(
z
)
,
{\displaystyle y(z)=AC_{n}^{(\alpha )}(z)+B(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}Q_{n+\alpha -{\tfrac {1}{2}}}^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }(z),}
де
Q
ν ν -->
μ μ -->
(
z
)
{\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}
— приєднана функція Лежандра другого роду,
A
,
B
{\displaystyle A,B}
— довільні сталі.
Ортогональність
Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови
α α -->
>
− − -->
1
2
{\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}
,
− − -->
1
≤ ≤ -->
z
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle -1\leq z\leq 1}
.
Для заданого
α α -->
>
− − -->
1
2
{\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}
поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [−1,1] с вагою
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}
, тобто (при
n
≠ ≠ -->
m
{\displaystyle n\neq m}
),
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
C
m
(
α α -->
)
(
z
)
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
d
z
=
0
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0,}
причому виконується умова нормування
‖ ‖ -->
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
‖ ‖ -->
2
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
[
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
]
2
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
d
z
=
2
1
− − -->
2
α α -->
π π -->
Γ Γ -->
(
n
+
2
α α -->
)
n
!
(
n
+
α α -->
)
[
Γ Γ -->
(
α α -->
)
]
2
.
{\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}=\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}
Як наслідок, функції
ψ ψ -->
n
α α -->
(
z
)
:=
2
1
2
− − -->
α α -->
π π -->
Γ Γ -->
(
n
+
2
α α -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
n
!
(
n
+
α α -->
)
(
1
− − -->
z
2
)
1
− − -->
2
α α -->
4
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
… … -->
,
{\displaystyle \psi _{n}^{\alpha }(z):={\frac {2^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }{\sqrt {\pi \Gamma (n+2\alpha )}}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {n!(n+\alpha )}}}}(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots ,}
утворюють ортонормований базис у просторі
L
2
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle L^{2}[-1,1]}
. Довільна функція
f
(
z
)
∈ ∈ -->
L
2
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle f(z)\in L^{2}[-1,1]}
може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій
{
ψ ψ -->
n
α α -->
(
z
)
}
n
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle \{\psi _{n}^{\alpha }(z)\}_{n=0}^{\infty }}
:
f
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
f
k
ψ ψ -->
k
α α -->
(
z
)
,
f
k
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
f
(
z
)
ψ ψ -->
k
α α -->
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}\psi _{k}^{\alpha }(z),\quad f_{k}=\int _{-1}^{1}f(z)\psi _{k}^{\alpha }(z)dz.}
Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега
L
w
2
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]}
:
L
w
2
[
− − -->
1
,
1
]
:=
{
f
(
z
)
:
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
f
2
(
z
)
w
(
z
)
d
z
<
∞ ∞ -->
}
,
w
(
z
)
=
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
/
2
,
{\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]:=\left\{f(z):\int _{-1}^{1}f^{2}(z)w(z)dz<\infty \right\},\quad w(z)=(1-z^{2})^{\alpha -1/2},}
за формулами:
f
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
f
k
C
k
(
α α -->
)
(
z
)
,
f
k
=
1
N
k
∫ ∫ -->
− − -->
1
1
f
(
z
)
C
k
(
α α -->
)
(
z
)
d
z
,
N
k
=
2
1
− − -->
2
α α -->
π π -->
Γ Γ -->
(
k
+
2
α α -->
)
k
!
(
k
+
α α -->
)
[
Γ Γ -->
(
α α -->
)
]
2
.
{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad f_{k}={\tfrac {1}{N_{k}}}\int _{-1}^{1}f(z)C_{k}^{(\alpha )}(z)dz,\quad N_{k}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (k+2\alpha )}{k!(k+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}
Приклади розвинень
sgn
-->
(
z
)
=
4
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
(
α α -->
)
k
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
α α -->
+
1
)
k
!
C
2
k
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
N
2
k
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{k}}{(2k+1)(2k+2\alpha +1)k!}}{\frac {C_{2k+1}^{(\alpha )}(z)}{N_{2k+1}}},}
де
sgn
-->
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(z)}
— функція знаку .
(
1
− − -->
z
)
β β -->
=
2
2
α α -->
+
β β -->
π π -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
+
1
2
)
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
k
+
α α -->
)
(
− − -->
β β -->
)
k
Γ Γ -->
(
k
+
2
α α -->
+
β β -->
+
1
)
C
k
(
α α -->
)
(
z
)
,
− − -->
β β -->
<
(
α α -->
+
1
)
/
2
,
при
α α -->
>
0
;
− − -->
β β -->
<
1
2
+
α α -->
,
при
− − -->
1
2
<
α α -->
<
0.
{\displaystyle (1-z)^{\beta }={\frac {2^{2\alpha +\beta }}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (\alpha )\Gamma \left(\alpha +\beta +{\tfrac {1}{2}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+\alpha )(-\beta )_{k}}{\Gamma (k+2\alpha +\beta +1)}}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad -\beta <(\alpha +1)/2,\,{\text{при}}\,\alpha >0;\quad -\beta <{\tfrac {1}{2}}+\alpha ,\,{\text{при}}\,-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0.}
Двовимірні розвинення:
exp
-->
(
i
x
y
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
y
2
)
− − -->
α α -->
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
i
k
(
k
+
α α -->
)
J
k
+
α α -->
(
y
)
C
k
(
α α -->
)
(
x
)
,
α α -->
>
0
,
{\displaystyle \exp(ixy)=\Gamma (\alpha )\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{-\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }i^{k}(k+\alpha )J_{k+\alpha }(y)C_{k}^{(\alpha )}(x),\quad \alpha >0,}
де
J
n
(
y
)
{\displaystyle J_{n}(y)}
— функція Бесселя першого роду.
(
1
− − -->
x
2
)
1
− − -->
2
α α -->
4
(
1
− − -->
y
2
)
1
− − -->
2
α α -->
4
=
Γ Γ -->
2
(
α α -->
)
π π -->
2
1
− − -->
2
α α -->
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
k
!
(
k
+
α α -->
)
Γ Γ -->
(
k
+
2
α α -->
)
C
k
(
α α -->
)
(
x
)
C
k
(
α α -->
)
(
y
)
.
{\displaystyle (1-x^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}(1-y^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}={\frac {\Gamma ^{2}(\alpha )}{\pi 2^{1-2\alpha }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!(k+\alpha )}{\Gamma (k+2\alpha )}}C_{k}^{(\alpha )}(x)C_{k}^{(\alpha )}(y).}
Представлення через суми та ряди
Поліноми Ґеґенбауера
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}
можна записати у вигляді суми по степенях
z
{\displaystyle z}
або
α α -->
{\displaystyle \alpha }
за відповідними формулами:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
(
α α -->
)
n
− − -->
k
k
!
(
n
− − -->
2
k
)
!
(
2
z
)
n
− − -->
2
k
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
∑ ∑ -->
j
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
+
n
(
2
z
)
n
− − -->
2
j
s
(
n
− − -->
j
,
k
)
j
!
(
n
− − -->
2
j
)
!
α α -->
k
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k+n}(2z)^{n-2j}s(n-j,k)}{j!(n-2j)!}}\alpha ^{k},}
де
s
(
n
− − -->
j
,
k
)
{\displaystyle s(n-j,k)}
— числа Стірлінга першого роду .
Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки
z
=
z
0
{\displaystyle z=z_{0}}
буде скінчення сума:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
2
k
(
α α -->
)
k
k
!
C
n
− − -->
k
(
α α -->
+
k
)
(
z
0
)
(
z
− − -->
z
0
)
k
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(\alpha )_{k}}{k!}}C_{n-k}^{(\alpha +k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}.}
Інтегральне представлення
Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:
через інтеграл по дійсній змінній:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
2
1
− − -->
2
α α -->
π π -->
Γ Γ -->
(
n
+
2
α α -->
)
n
!
(
n
+
α α -->
)
[
Γ Γ -->
(
α α -->
)
]
2
∫ ∫ -->
0
π π -->
(
z
+
cos
-->
t
⋅ ⋅ -->
z
2
− − -->
1
)
n
(
sin
-->
t
)
2
α α -->
− − -->
1
d
t
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\int _{0}^{\pi }(z+\cos t\cdot {\sqrt {z^{2}-1}})^{n}(\sin t)^{2\alpha -1}dt,}
через контурний інтеграл:
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
=
1
2
π π -->
i
∫ ∫ -->
γ γ -->
d
u
u
n
+
1
(
1
− − -->
2
z
u
+
u
2
)
α α -->
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {du}{u^{n+1}(1-2zu+u^{2})^{\alpha }}},}
де
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
— довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.
Ряд інших інтегральних тотожностей:
∫ ∫ -->
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
d
z
=
1
2
(
α α -->
− − -->
1
)
C
n
+
1
(
α α -->
− − -->
1
)
(
z
)
+
C
,
{\displaystyle \int C_{n}^{(\alpha )}(z)dz={\frac {1}{2(\alpha -1)}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z)+C,}
∫ ∫ -->
C
n
(
3
2
)
(
z
)
d
z
=
P
n
+
1
(
z
)
+
C
,
∫ ∫ -->
C
n
(
2
)
(
z
)
d
z
=
1
2
U
n
+
1
(
z
)
+
C
,
{\displaystyle \int C_{n}^{({\tfrac {3}{2}})}(z)dz=P_{n+1}(z)+C,\quad \int C_{n}^{(2)}(z)dz={\tfrac {1}{2}}U_{n+1}(z)+C,}
∫ ∫ -->
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
− − -->
1
2
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
d
z
=
− − -->
2
α α -->
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
+
1
2
n
(
n
+
2
α α -->
)
C
n
− − -->
1
(
α α -->
+
1
)
(
z
)
+
C
.
{\displaystyle \int (1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)dz=-{\frac {2\alpha (1-z^{2})^{\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}{n(n+2\alpha )}}C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)+C.}
Асимптотична поведінка
Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра
α α -->
{\displaystyle \alpha }
та змінної
z
{\displaystyle z}
:[ 6]
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
2
n
π π -->
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
1
− − -->
n
2
)
n
!
(
1
+
O
(
z
)
)
;
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
Γ Γ -->
(
2
α α -->
+
n
)
Γ Γ -->
(
2
α α -->
)
n
!
(
1
+
O
(
z
− − -->
1
)
)
,
− − -->
α α -->
− − -->
1
2
≠ ≠ -->
N
;
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma ({\tfrac {1-n}{2}})n!}}(1+O(z));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}(1+O(z-1)),\quad -\alpha -{\tfrac {1}{2}}\neq \mathbb {N} ;}
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
α α -->
)
n
n
!
(
1
+
O
(
z
+
1
)
)
;
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
2
n
z
n
(
α α -->
)
n
n
!
(
1
+
O
(
1
z
2
)
)
;
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(-1)^{n}(2\alpha )_{n}}{n!}}(1+O(z+1));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}z^{n}(\alpha )_{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{z^{2}}}\right)\right);}
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
C
n
(
0
)
(
z
)
α α -->
(
1
+
O
(
α α -->
)
)
,
n
>
0
;
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
≈ ≈ -->
(
2
z
)
n
α α -->
n
n
!
(
1
+
O
(
1
α α -->
)
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx C_{n}^{(0)}(z)\alpha (1+O(\alpha )),\quad n>0;\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(2z)^{n}\alpha ^{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{\alpha }}\right)\right).}
Нерівності та оцінки
Справедливі такі оцінки:
max
− − -->
1
≤ ≤ -->
z
≤ ≤ -->
1
|
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
|
=
C
n
(
α α -->
)
(
1
)
=
(
2
α α -->
)
n
n
!
,
α α -->
>
0
{\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{n}^{(\alpha )}(z)|=C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},\quad \alpha >0}
max
− − -->
1
≤ ≤ -->
z
≤ ≤ -->
1
|
C
2
m
(
α α -->
)
(
z
)
|
=
|
C
2
m
(
α α -->
)
(
0
)
|
=
|
(
α α -->
)
m
m
!
|
,
− − -->
m
<
α α -->
<
0
,
α α -->
≠ ≠ -->
Z
,
{\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m}^{(\alpha )}(z)|=|C_{2m}^{(\alpha )}(0)|=\left|{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\right|,\quad -m<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,}
max
− − -->
1
≤ ≤ -->
z
≤ ≤ -->
1
|
C
2
m
+
1
(
α α -->
)
(
z
)
|
<
2
|
(
α α -->
)
m
+
1
|
m
!
(
2
m
+
1
)
(
2
m
+
2
α α -->
+
1
)
,
− − -->
m
− − -->
1
2
<
α α -->
<
0
,
α α -->
≠ ≠ -->
Z
,
{\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)|<{\frac {2|(\alpha )_{m+1}|}{m!{\sqrt {(2m+1)(2m+2\alpha +1)}}}},\quad -m-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,}
(
1
− − -->
z
2
)
α α -->
|
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
|
<
(
n
2
)
α α -->
1
Γ Γ -->
(
α α -->
)
,
0
<
α α -->
<
1
,
z
∈ ∈ -->
[
− − -->
1
,
1
]
.
{\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha }|C_{n}^{(\alpha )}(z)|<\left({\frac {n}{2}}\right)^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}},\quad 0<\alpha <1,\quad z\in [-1,1].}
При
z
≥ ≥ -->
− − -->
1
,
α α -->
≥ ≥ -->
1
/
4
{\displaystyle z\geq -1,\,\alpha \geq 1/4}
справедлива наступна нерівність:
∑ ∑ -->
j
=
0
n
C
j
(
α α -->
)
(
z
)
(
2
α α -->
+
j
− − -->
1
j
)
≥ ≥ -->
0
,
(
2
α α -->
+
j
− − -->
1
j
)
=
(
2
α α -->
+
j
− − -->
1
)
(
2
α α -->
+
j
− − -->
2
)
(
2
α α -->
+
j
− − -->
3
)
⋯ ⋯ -->
(
2
α α -->
)
j
(
j
− − -->
1
)
(
j
− − -->
2
)
⋯ ⋯ -->
1
.
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{(\alpha )}(z)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0,\qquad {2\alpha +j-1 \choose j}={\frac {(2\alpha +j-1)(2\alpha +j-2)(2\alpha +j-3)\cdots (2\alpha )}{j(j-1)(j-2)\cdots 1}}.}
Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута
Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
може бути представлений у вигляді суми
C
n
(
α α -->
)
(
cos
-->
θ θ -->
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
α α -->
)
k
(
α α -->
)
n
− − -->
k
k
!
(
n
− − -->
k
)
!
cos
-->
(
(
n
− − -->
2
k
)
θ θ -->
)
,
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-k)!}}\cos((n-2k)\theta ),}
або через інтеграл від дійсного параметра:
C
n
(
α α -->
)
(
cos
-->
θ θ -->
)
=
2
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
+
1
2
)
(
2
α α -->
)
n
n
!
Γ Γ -->
(
α α -->
)
p
i
∫ ∫ -->
0
θ θ -->
cos
-->
(
(
n
+
α α -->
)
ϕ ϕ -->
)
(
cos
-->
ϕ ϕ -->
− − -->
cos
-->
θ θ -->
)
1
− − -->
α α -->
d
ϕ ϕ -->
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )={\frac {2^{\alpha }\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})(2\alpha )_{n}}{n!\Gamma (\alpha ){\sqrt {pi}}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos((n+\alpha )\phi )}{(\cos \phi -\cos \theta )^{1-\alpha }}}d\phi .}
Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.
При повороті точки заданої в сферичній системі координатами
(
r
,
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
на кут нутації
β β -->
{\displaystyle \beta }
новий кут
θ θ -->
′ ′ -->
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
визначається рівністю
cos
-->
θ θ -->
′ ′ -->
=
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
β β -->
+
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
β β -->
cos
-->
φ φ -->
.
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos \varphi .}
Справедлива формула додавання:
C
n
(
α α -->
)
(
cos
-->
θ θ -->
′ ′ -->
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
α α -->
)
k
(
n
− − -->
k
)
!
(
α α -->
+
1
2
)
k
(
2
k
+
2
α α -->
)
n
− − -->
k
sin
k
-->
θ θ -->
sin
k
-->
β β -->
C
n
− − -->
k
(
α α -->
+
k
)
(
cos
-->
θ θ -->
)
C
n
− − -->
k
(
α α -->
+
k
)
(
cos
-->
β β -->
)
C
k
(
α α -->
+
1
2
)
(
cos
-->
φ φ -->
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta ^{\prime })=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}\sin ^{k}\theta \,\sin ^{k}\beta \,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \theta )\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \beta )\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\cos \varphi )}
або
C
n
(
α α -->
)
(
x
y
+
γ γ -->
(
1
− − -->
x
2
)
(
1
− − -->
y
2
)
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
α α -->
)
k
(
n
− − -->
k
)
!
(
α α -->
+
1
2
)
k
(
2
k
+
2
α α -->
)
n
− − -->
k
(
1
− − -->
x
2
)
k
/
2
(
1
− − -->
y
2
)
k
/
2
C
n
− − -->
k
(
α α -->
+
k
)
(
x
)
C
n
− − -->
k
(
α α -->
+
k
)
(
y
)
C
k
(
α α -->
+
1
2
)
(
γ γ -->
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}\left(xy+\gamma {\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}(1-x^{2})^{k/2}\,(1-y^{2})^{k/2}\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(y)\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\gamma )}
після заміни
x
=
cos
-->
θ θ -->
,
y
=
cos
-->
β β -->
,
γ γ -->
=
cos
-->
φ φ -->
{\displaystyle x=\cos \theta ,y=\cos \beta ,\gamma =\cos \varphi }
.
Випадок комплексного аргументу
Симетрія відносно операції комплексного спряження :
C
n
(
α α -->
¯ ¯ -->
)
(
z
¯ ¯ -->
)
=
C
n
(
α α -->
)
(
z
)
¯ ¯ -->
.
{\displaystyle C_{n}^{({\bar {\alpha }})}({\bar {z}})={\overline {C_{n}^{(\alpha )}(z)}}.}
Якщо
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
, де
x
{\displaystyle x}
і
y
{\displaystyle y}
— дійсні змінні (
α α -->
{\displaystyle \alpha }
також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:
R
e
[
C
n
(
α α -->
)
(
x
+
i
y
)
]
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
n
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
2
2
k
(
α α -->
)
2
k
(
2
k
)
!
C
n
− − -->
2
k
(
2
k
+
α α -->
)
(
x
)
y
2
k
,
{\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}
I
m
[
C
n
(
α α -->
)
(
x
+
i
y
)
]
=
∑ ∑ -->
k
=
0
⌊ ⌊ -->
(
n
− − -->
1
)
/
2
⌋ ⌋ -->
(
− − -->
1
)
k
2
2
k
+
1
(
α α -->
)
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
C
n
− − -->
2
k
− − -->
1
(
2
k
+
α α -->
+
1
)
(
x
)
y
2
k
+
1
.
{\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}
Застосування
Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі . А саме, ньютонівський потенціал в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
допускає такий розклад:
1
|
x
− − -->
y
|
n
− − -->
2
=
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
|
x
|
k
|
y
|
k
+
n
− − -->
2
C
k
(
α α -->
)
(
x
⋅ ⋅ -->
y
)
,
α α -->
=
n
− − -->
2
2
,
x
⋅ ⋅ -->
y
=
x
1
y
1
+
⋯ ⋯ -->
+
x
n
y
n
,
x
,
y
∈ ∈ -->
R
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ),\qquad \alpha ={\frac {n-2}{2}},\quad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}.}
Зокрема, при
n
=
3
{\displaystyle n=3}
ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.
Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).
Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини
n
{\displaystyle n}
-вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:
Y
l
(
Θ Θ -->
)
=
e
i
m
n
− − -->
1
θ θ -->
n
− − -->
1
∏ ∏ -->
k
=
1
n
− − -->
2
sin
m
k
-->
(
θ θ -->
k
)
C
m
k
− − -->
1
− − -->
m
k
(
m
k
+
(
n
− − -->
k
)
/
2
)
(
cos
-->
θ θ -->
k
)
,
{\displaystyle Y_{l}(\Theta )=e^{im_{n-1}\theta _{n-1}}\prod _{k=1}^{n-2}\sin ^{m_{k}}(\theta _{k})C_{m_{k-1}-m_{k}}^{(m_{k}+(n-k)/2)}(\cos \theta _{k}),}
де
Θ Θ -->
=
(
θ θ -->
1
,
… … -->
,
θ θ -->
n
− − -->
1
)
{\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})}
— кутові координати в
n
{\displaystyle n}
-вимірній сферичній системі координат,
m
1
=
l
,
l
≥ ≥ -->
m
2
≥ ≥ -->
m
3
≥ ≥ -->
… … -->
≥ ≥ -->
m
n
− − -->
1
≥ ≥ -->
0
,
l
=
0
,
1
,
2
,
… … -->
.
{\displaystyle m_{1}=l,\quad l\geq m_{2}\geq m_{3}\geq \ldots \geq m_{n-1}\geq 0,\quad l=0,1,2,\ldots .}
Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню :
ϕ ϕ -->
(
p
,
ϑ ϑ -->
p
,
φ φ -->
p
)
=
2
π π -->
(
n
− − -->
l
− − -->
1
)
!
(
n
+
l
)
!
n
2
2
2
l
+
2
l
!
n
l
p
l
(
n
2
p
2
+
1
)
l
+
2
C
n
− − -->
l
− − -->
1
(
l
+
1
)
(
n
2
p
2
− − -->
1
n
2
p
2
+
1
)
Y
l
m
(
ϑ ϑ -->
p
,
φ φ -->
p
)
,
{\displaystyle \phi (p,\vartheta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-l-1)!}{(n+l)!}}}}n^{2}2^{2l+2}l!{\frac {n^{l}p^{l}}{(n^{2}p^{2}+1)^{l+2}}}C_{n-l-1}^{(l+1)}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{l}^{m}({\vartheta _{p},\varphi _{p}}),}
де
p
{\displaystyle p}
— одиниці
ℏ ℏ -->
/
a
0
∗ ∗ -->
{\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}
,
a
0
∗ ∗ -->
{\displaystyle a_{0}^{*}}
— радіус Бора атома водню,
Y
l
m
{\displaystyle Y_{l}^{m}}
— сферичні гармоніки .
Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
.
Література
Суетин П. К . Классические ортогональные многочлены. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Виленкин Н. Я . Специальные функции и теория представления групп. — 2-е изд., исправ. — М. : Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6 .
Бейтмен Г., Эрдейи А . Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions [en] , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Див. Chapter 22 [Архівовано 19 вересня 2009 у Wayback Machine .]
Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9 .
Примітки
Посилання