Передавальна функція

Передавальна функція (англ. Transfer function) — функція, що описує залежність виходів деякої динамічної лінійної стаціонарної системи від її входів. Також відома як системна або мережева функція. Є математичним представленням моделі чорного ящика деякої системи.

Зазвичай це подання в умовах просторової або часової частоти на зв'язку між входом і виходом теорії лінійних стаціонарних систем з нульовими початковими умовами і нульовою рівновагою. Наприклад, у випадку оптичних пристроїв обробки зображень — це перетворення Фур'є функції розсіювання точки (функція просторової частоти), тобто розподілу інтенсивності, викликаної точковим об'єктом в полі зору. Однак, деякі джерела використовують поняття «передавальна функція» для зазначення різних характеристик входу-виходу в прямих фізичних вимірюваннях (наприклад, вихідної напруги в залежності від вхідної напруги мережі), а не його перетворення в S-площині.

Передавальна функція використовується в основному в теорії автоматичного управління, теорії зв'язку та цифровій обробці сигналів і являє собою диференційний оператор, що виражає зв'язок між вхідним та вихідним сигналами лінійної стаціонарної системи. Знаючи вхідний сигнал системи і передавальну функцію, можна визначити вихідний сигнал. В теорії автоматичного управління передавальна функція неперервної лінійної стаціонарної системи визначається через відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу за нульових початкових умов, та представляється дробово-раціональною функцією. Так як передавальна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то первинне завдання синтезу системи автоматичного управління зводиться до визначення її передавальної функції.

Лінійні стаціонарні системи

Нехай ${\displaystyle u(t)}$ — вхідний сигнал лінійної стаціонарної системи, a ${\displaystyle y(t)}$ — її вихідний сигнал. Тоді передавальна функція ${\displaystyle W(s)}$ такої системи записується у вигляді:

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$

де ${\displaystyle U(s)}$ і ${\displaystyle Y(s)}$) — перетворення Лапласа для сигналів ${\displaystyle u(t)}$ і ${\displaystyle y(t)}$ відповідно:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt}$

${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt}$

 Дискретна передавальна функція 

Для дискретних і дискретно-безперервних систем вводиться поняття дискретної передавальної функції. Нехай ${\displaystyle u(k)}$ — вхідний дискретний сигнал такої системи, а ${\displaystyle y(k)}$ — її дискретний вихідний сигнал, ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$ . Тоді передавальна функція ${\displaystyle W(z)}$ такої системи записується у вигляді:

${\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}}$

де ${\displaystyle U(z)}$ і ${\displaystyle Y(z)}$  — z-перетворення для сигналів ${\displaystyle u(k)}$ і ${\displaystyle y(k)}$ відповідно:

${\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}}$

${\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}$

Зв'язок з іншими динамічними характеристиками

• АФЧХ системи можна отримати з передавальної функції за допомогою формальної заміни комплексної змінної ${\displaystyle s}$ на ${\displaystyle j\omega }$:

${\displaystyle W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega }$

• Імпульсна перехідна функція є оригіналом (в сенсі перетворення Лапласа) для передавальної функції.

Властивості передавальної функції, полюси і нулі передавальної функції

1.Для стаціонарних систем (тобто систем незмінними параметрами компонентів) і з зосередженими параметрами передавальна функція — це дрібно-раціональна функція комплексної змінної ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}$

2. Знаменник і чисельник передавальної функції — це характеристичні поліноми диференціального рівняння руху лінійної системи. Полюсами передавальної функції називають корені характеристичного полінома знаменника, нулі — корені характеристичного полінома чисельника.

3. У фізично реалізованих системах порядок полінома чисельника передавальної функції ${\displaystyle m}$ не може перевищувати порядку полінома її знаменника ${\displaystyle n}$, тобто ${\displaystyle m\leq n}$

4. Імпульсна перехідна функція являє собою оригінал (перетворення Лапласа) для передавальної функції.

5. При формальної заміні ${\displaystyle s=j\omega }$ в ${\displaystyle W(s)}$ виходить комплексна передавальна функція системи, що описує одночасно амплітудно-частотну (у вигляді модуля цієї функції) і фазо-частотну характеристики системи як аргумент її.

Матрична передавальна функція

Для MIMO-систем вводиться поняття матричної передавальної функції. Матрична передавальна функція від вектора входу системи ${\displaystyle U(t)}$ до вектора виходу ${\displaystyle Y(t)}$ — це матриця ${\displaystyle W=\{w_{i,j}\}}$, елемент ${\displaystyle i}$-й рядка ${\displaystyle j}$-го стовпчика є передавальний функцію системи від ${\displaystyle i}$-й координати вектора входу системи до ${\displaystyle j}$-й координати вектора виходу

Див. також

• ЛАФЧХ
• Частота відповіді
• АФЧХ
• Білінійне перетворення

• Чотириполюсник

Література

• «Енциклопедія кібернетики», відповідальний ред. В. Глушков, 2 тт., 1973, рос. вид. 1974;
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.