Оператор набла у різних системах координат

Загальний вираз

Загальний вираз для оператора ∇ у довільній системі координат можна записати так:

${\displaystyle \nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{m}i_{m}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}=i_{1}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{1}}+i_{2}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{2}}+i_{3}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{3}}}$,

де "${\displaystyle \circ }$" - будь-який з трьох значків, що відповідають дії оператора ∇:

• " " - градієнт;
• " · " - дивергенція;
• " × " - ротор.

Елементи ${\displaystyle \partial r_{m}}$ у цьому записі відповідають елементам радіус-вектора у відповідній системі координат:

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{m}i_{m}\partial r_{m}=i_{1}\partial r_{1}+i_{2}\partial r_{2}+i_{3}\partial r_{3}}$

Іншими словами, першою дією є взяття часткової похідної ${\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}}$ за проєкцією радіус-вектора від цілого вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (з урахуванням похідних орт у цій системі координат), і лише потім множення (просте для градієнту, скалярне для дивергенції та векторне для ротору) орта напрямку на ${\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}}$.

При цьому достатньо знати вирази:

• у циліндричних координатах: ${\displaystyle {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }=i_{\varphi }}$ і ${\displaystyle {\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{\rho }}$;
• у сферичних координатах: ${\displaystyle {\partial i_{r} \over \partial \theta }=i_{\theta }}$, ${\displaystyle {\partial i_{\theta } \over \partial \theta }=-i_{r}}$, ${\displaystyle {\partial i_{r} \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\sin \theta }$, ${\displaystyle {\partial i_{\theta } \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\cos \theta }$ і ${\displaystyle {\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{r}\sin \theta -i_{\vartheta }\cos \theta }$.

Наприклад, запис дивергенції у циліндричних координатах отримуємо так:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =i_{\rho }\cdot {\partial \over \partial \rho }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial \over \partial \varphi }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+i_{z}\cdot {\partial \over \partial z}(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})=}$

${\displaystyle ={\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{\biggl (}{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }A_{\rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}={\biggl (}{\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{A_{\rho } \over \rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}=}$

${\displaystyle ={1 \over \rho }{\partial (\rho A_{\rho }) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}}$