Нормальна система координат

Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення.

Означення

Нехай ${\displaystyle M}$ є гладким многовидом із афінною зв'язністю ${\displaystyle \nabla }$. Для дотичного простору ${\displaystyle T_{p}M}$ у точці ${\displaystyle p\in M}$ для кожного ${\displaystyle V\in T_{p}M}$ існує однозначно визначена геодезична крива ${\displaystyle \gamma _{V}}$, задана на якомусь проміжку (-t,t), тобто ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$ на цьому проміжку і ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=Y}$. Ці геодезичні лінії задають експоненційне відображення на відкритій підмножині ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{p}\subset T_{p}M}$:

${\displaystyle \exp _{p}\colon {\mathcal {E}}_{p}\to M,\quad V\mapsto \exp _{p}(V):=\gamma _{V}(1)}$.

Для базиса ${\displaystyle (E_{i})_{i}}$ дотичного простору ${\displaystyle T_{p}M}$ існує лінійний ізоморфізм

${\displaystyle E\colon \mathbb {R} ^{n}\to T_{p}M,}$

заданий як ${\displaystyle \textstyle E(x^{1},\ldots ,x^{n})=\sum _{i}x^{i}E_{i}}$. Нехай ${\displaystyle U\subset M}$ є нормальним околом точки ${\displaystyle p}$, тобто околом для якого експоненційне відображення є дифеоморфізмом із околу ${\displaystyle 0\in V=\exp _{p}^{-1}(U)}$ у дотичному просторі ${\displaystyle T_{p}M}$ на ${\displaystyle U}$. Тоді відображення

${\displaystyle \phi \colon U\to \mathbb {R} ^{n},\quad U\ni q\mapsto E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}(q)}$

є координатним відображенням, що задає локальну систему координат, які і називаються нормальними координатами.

Оскільки вибір координат на дотичному просторі є довільним, то і нормальні координати в околі точки не є однозначно визначеними. Для ріманових многовидів часто вимагається щоб базові вектори дотичного простору були ортонормальними. Тоді одержані координати також називаються рімановими нормальними координатами.

Властивості

Нехай ${\displaystyle x^{i}}$ є нормальними координатами в нормальному околі ${\displaystyle U}$ з центром у точці ${\displaystyle p\in M}$.

• Координатами точки ${\displaystyle p}$ є ${\displaystyle (0,...,0)}$
• Нехай ${\displaystyle V\in T_{p}M}$ із компонентами ${\displaystyle V^{i}}$ у локальних координатах. Тоді геодезична крива ${\displaystyle \gamma _{V}}$ із точки ${\displaystyle p}$ у напрямку ${\displaystyle V}$ у нормальних координатах на ${\displaystyle U}$ задається як ${\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})}$.
• Якщо тензор кручення афінної зв'язності ${\displaystyle \nabla }$ є нульовим то Символи Крістофеля у точці ${\displaystyle p}$ у координатному базисі ${\displaystyle X_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ є рівними нулю, тобто ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}$. Ця властивість, зокрема, завжди є справедливою для ріманових многовидів із зв'язністю Леві-Чивіти.

За означенням афінної зв'язності і символів Крістофеля для координатного базиса ${\displaystyle \nabla _{X_{i}}X_{j}(p)=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(p)X_{k}(p).}$ За означенням тензора кручення ${\displaystyle T(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}X_{j}-\nabla _{X_{j}}X_{i}-[X_{i},X_{j}]}$ і оскільки дужки Лі координатних векторних полів є нульовими і за умовою тензор кручення рівним нулю, то ${\displaystyle \nabla _{X_{i}}X_{j}=\nabla _{X_{j}}X_{i}.}$ Із попередніх властивостей, крива задана у нормальних координатах як ${\displaystyle \gamma (t)=(0,\ldots ,t,\ldots ,t,\ldots ,0)}$ де t є на позиціях i і j а всі решта координати рівні 0, є геодезичною і тому ${\displaystyle 0=\nabla _{X_{i}+X_{j}}X_{i}+X_{j}=\nabla _{X_{i}}X_{i}+\nabla _{X_{j}}X_{j}+2\nabla _{X_{i}}X_{j}.}$ Але усі нормальні координатні лінії, що виходять із ${\displaystyle p}$ є геодезичними, то ж ${\displaystyle \nabla _{X_{i}}X_{i}=\nabla _{X_{j}}X_{j}=0,}$ а тому також ${\displaystyle \nabla _{X_{i}}X_{j}=0.}$ Звідси і всі символи Крістофеля у точці ${\displaystyle p}$ є рівними нулю.

• Для ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти всі часткові похідні елементів ${\displaystyle g_{ij}}$ метричного тензора у точці ${\displaystyle p}$ є рівними нулю, тобто ${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}$. У випадку ріманових нормальних координат у точці ${\displaystyle p}$ елементи ${\displaystyle g_{ij}}$ у ${\displaystyle p}$ є рівними ${\displaystyle \delta _{ij}}$.

Див. також

• Атлас (математика)
• Афінна зв'язність
• Диференційовний многовид
• Експоненційне відображення
• Тензор кручення

Література

• Busemann, Herbert (1955), On normal coordinates in Finsler spaces, Mathematische Annalen, 129: 417—423, doi:10.1007/BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Chern, S. S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2000