Монотонна функція

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тоді

• функція ${\displaystyle f}$ називається зроста́ючою, або неспа́дною на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geqslant f(y)}$.

• функція ${\displaystyle f}$ називається стро́го зроста́ючою на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}$.

• функція ${\displaystyle f}$ називається спа́дною, або незроста́ючою на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leqslant f(y)}$.

• функція ${\displaystyle f}$ називається стро́го спа́дною на ${\displaystyle M}$, якщо

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)}$.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною.

Іноді зростаючі функції називаються неспадними, а спадні функції незростаючими. Строго зростаючі функції тоді називають просто зростаючими, а строго спадні просто спадними.

Тому, для уникнення неоднозначності, терміни «зростаюча» та «спадна» функція або уточнюються у статті чи книзі, або не вживаються.

Монотонність в теорії порядку

Теорія порядку має справу із довільними частково впорядкованими множинами і передпорядками як узагальненням дійсних чисел. Наведене вище означення монотонності доречне і в цьому випадку. Однак, термінологія різниться, бо звичне графічне представлення не застосовне для нелінійних порядків.

Позначаючи відношення часткового порядку для будь-якої частково впорядкованої множини через ≤, монотонну функцію також називають ізотонною або порядкозберігальною. Це відношення задовольняє

x ≤ y тягне за собою f(x) ≤ f(y),

для всіх x і y з її області визначення. Композиція двох монотонних відображень також монотонне відображення.

Двоїсте поняття часто називають антитонністю, анти-монотонністю або порядкообертальною. Отже, для антитонності функція f задовольняє

x ≤ y тягне за собою f(y) ≤ f(x),

для всіх x і y з її області визначення.

Константна функція одночасно монотонна і антитонна.

Див. також

• Монотонна послідовність

Література

• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 16—17.(рос.)

Посилання

• Функція зростаюча; Функція спадаюча; Функція монотонна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.