Матриці Паулі — три
матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.
![{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6111259759e352a80ed9a22a469360b323ccd00e)
![{\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349199cc9cbfaafee4c951022c4738d9199f9d31)
![{\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1325f6de2349e879e8de171d4b4ca53a725fe90)
Властивості
Матриці Паулі — ермітові оператори.
Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.
Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.
Комутаційні співвідношення
Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту
![{\displaystyle [\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff2a7647d9ce90e18a339692aad14768ce322c1)
![{\displaystyle [\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dbda76b452e1185d55d2d280bfb2ada4e5c4a0)
![{\displaystyle [\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bbe95d6157bf2a22cd6c2a737f34406824d6a4)
Власні значення і власні вектори
Найважливішим для практичного застосування є оператор
. Його власні значення
, а власні вектори
та
.
Матриця
![{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}+i{\hat {\sigma }}_{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8f9178e1008d71b1a77ea24544455b533ff3e7)
має ту властивість, що
![{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa0919e30b29d06dfbcf27798e1d8bc827f1364)
тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця
![{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}-i{\hat {\sigma }}_{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b24aec4be27628118175a5cfdb3b3c613b9f70)
має ту властивість, що
![{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669fb7f87f86f1154759f2a08cb8116b6994c308)
Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.
Внесок у гамільтоніан
Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки
записується у вигляді
,
де g — g-фактор Ланде,
— магнетон Бора,
— вектор магнітної індукції,
— та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.
Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд
.
У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором
і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією
, де
— це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.