Від сезону 2013/14 Лазаре Купатадзе виступав за столичний клуб «Сабуртало», з яким виграв турнір Першої ліги та підвищився до вищого дивізіону. У 2015 році воротар на правах оренди був відправлений в клуб «Локомотив» (Тбілісі). У 2017 році він повернувся до «Сабуртало», з яким став чемпіоном країни.
У 2019 році Купатадзе півроку провів у люксембурзькому клубі «Женесс». Але зіграв там лише три матчі і повернувся до «Сабуртало». Два сезони воротар провів у складі батумського «Динамо» і перед сезоном 2023 року в черговий раз повернувся до «Сабуртало».
