У дорослому футболі дебютував 2011 року виступами за команду «Раднички 1923», в якій провів чотири сезони, взявши участь у 53 матчах чемпіонату. За підсумками сезону 2014/15 клуб з Крагуєваця залишив вищий футбольний дивізіон Сербії, і Росич, провівши за 4 сезони 53 матчі і забивши 3 м'ячі, покинув команду і підписав контракт з іншими «Радничками», з Ниша.
У серпні 2015 року, провівши лише три матчі за новий клуб, Лазар перейшов у «Воєводину», у складі якої виступав до кінця сезону.
Влітку 2016 року перейшов в португальську «Брагу». У складі клубу з Браги не став гравцем основного складу, провівши за понад два сезону лише 32 матчі в національному чемпіонаті.
