Вихованець хокейної школи «Форт Мак-Леод Пантерс». Виступав за «Летбридж Гаррікейнс» (АХЛ).
2008 року був обраний на драфті НХЛ під 14-м загальним номером командою «Кароліна Гаррікейнс». 4 жовтня 2008 Зак уклав трирічний контракт початкового рівня з «ураганами».[1] 17 жовтня 2008 він дебютував у матчі проти «Лос-Анджелес Кінгс». Бойчук став другим гравцем «Кароліна» хто відіграв дебютний матч в перший рік драфту після Еріка Стаала в 2003. Провівши дві гри за «Гаррікейнс» його повернули до «Летбридж Гаррікейнс».[2]
10 квітня 2009 Зак перейшов до «Олбані Рівер-Ретс» (АХЛ). Сезон 2010–11 провів у складі «Шарлотт Чекерс».
Свій перший гол у НХЛ канадець закинув 3 лютого 2010 у матчі проти «Нью-Джерсі Девілс». 29 грудня 2010 Зак відзначився двома голами в грі проти «Оттава Сенаторс».[3]
31 січня 2013 Бойчук перейшов до «Піттсбург Пінгвінс»,[4] а вже 5 березня 2013 до «Нашвілл Предаторс».[5] 21 березня 2013 він поверувся до «Гаррікейнс» та опинився у фарм-клубі «Шарлотт Чекерс». 6 грудня 2013 його викликали до основи «Кароліни» через травму старожила команди Майка Комісарека.[6]
7 липня 2015 Зак підписав однорічну угоду з «ураганами».[7] Правда сезон 2015–16 він провів спочатку у складі «Шарлотт Чекерс», а завершив захищаючи кольори «Бейкерсфілд Кондорс».
8 вересня 2016 на правах вільного агента Зак погодився на проведення тренувльного збору в клубі «Аризона Койотс»[8] але зрештою переїхав в Європу, де виступав за «Сибір», через рік за «Слован» (Братислава).
1 червня 2018 Бойчук приєднався до свого третього клубу КХЛ «Сєвєрсталь».[9] 19 листопада 2018 він покинув Росію та перейшов до швейцарської команди «Берн».[10]
27 грудня 2019 канадець перейшов до іншого швейцарського клубу «Фрібур-Готтерон».[11]