Ця стаття
має кілька недоліків . Будь ласка, допоможіть
удосконалити її або обговоріть ці проблеми на
сторінці обговорення .
У цій статті
відсутній вступний розділ , що має містити визначення предмета і стислий огляд найважливіших аспектів статті.
Ви можете допомогти проєкту, написавши преамбулу. (червень 2023 )
Нехай
X
1
,
… … -->
,
X
n
∼ ∼ -->
N
1
(
E
X
)
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N_{1}} (\mathbb {E} X)}
Y
1
,
… … -->
,
Y
n
∼ ∼ -->
N
2
(
E
Y
)
{\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}\sim \mathrm {N_{2}} (\mathbb {E} Y)}
вибірки з нормальних розподілів , де
E
X
{\displaystyle \mathbb {E} X}
E
Y
{\displaystyle \mathbb {E} Y}
середні . Означемо довільне
α α -->
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle \alpha \in [0,1]}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
довірчий інтервал для невідомої коваріації
C
o
v
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}
Твердження. Випадкова величина
H
=
E
[
(
X
− − -->
E
X
)
(
Y
− − -->
E
Y
)
]
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
C
o
v
(
X
,
Y
)
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
1
{\displaystyle H={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}={\frac {\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}=1}
має розподіл
χ χ -->
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
χ χ -->
α α -->
,
n
2
{\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
процентіль цього розподілу . Тоді маємо:
P
(
χ χ -->
1
− − -->
α α -->
2
,
n
2
≤ ≤ -->
H
≤ ≤ -->
χ χ -->
1
+
α α -->
2
,
n
2
)
=
α α -->
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}\leq H\leq \chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}\right)=\alpha }
Після підстановки виразу для
H
{\displaystyle H}
P
(
E
[
(
X
− − -->
E
X
)
(
Y
− − -->
E
Y
)
]
χ χ -->
1
+
α α -->
2
,
n
2
≤ ≤ -->
C
o
v
(
X
,
Y
)
≤ ≤ -->
E
[
(
X
− − -->
E
X
)
(
Y
− − -->
E
Y
)
]
χ χ -->
1
− − -->
α α -->
2
,
n
2
)
=
α α -->
{\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}}}\leq \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\leq {\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=\alpha }
![{\displaystyle \alpha \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf3c62599ea71319c85f715c9e590d2bab2d036)
![{\displaystyle H={\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}={\frac {\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}{\mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ed7c394939bb2339235b199299f75b19dbb934)
![{\displaystyle \mathbb {P} \left({\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1+\alpha }{2}},n}^{2}}}\leq \mathrm {Cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\leq {\frac {\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)(Y-\mathbb {E} Y)\right]}{\chi _{{\frac {1-\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd777e4c51fa136e8a22b603379fc82876d1bc27)
