Група Матьє

Групи Матьє — це п'ять спорадичних простих груп, M₁₁^[en], M₁₂^[en], M₂₂^[en], M₂₃^[en] і M₂₄^[en], які ввів Еміль Леонар Матьє^[1][2]. Групи є кратно транзитивними групами перестановок 11, 12, 22, 23 чи 24 об'єктів. Перші відкриті спорадичні групи.

Іноді використовують позначення M₉, M₁₀, M₂₀ і M₂₁ для пов'язаних груп (які діють на множинах із 9, 10, 20 і 21 точками, відповідно), а саме стабілізаторів точок у великих групах. Хоча це не спорадичні прості групи, вони є підгрупами великих груп і можуть бути використані для їх побудови. Джон Конвей показав, що можна продовжити цю послідовність, отримуючи групоїд Матьє^[en] M₁₃, що діє на 13 точок. M₂₁ — проста, але не спорадична група, оскільки є ізоморфною PSL(3,4).

Історія

Матьє^[3] ввів групу M₁₂ як частину дослідження кратно транзитивних груп перестановок і коротко згадав (на стор. 274) групу M₂₄, вказавши її порядок. У статті 1873 року^[2] він навів додаткові деталі, включаючи явні породжувальні множини для цих груп, але групу нелегко побачити з його аргументів, що згенеровані групи не просто знакозмінні групи, і кілька років існування груп було під сумнівом. Міллер^[4] навіть опублікував статтю з хибним доведенням, що M₂₄ не існує, хоча незабаром після цього у статті 1900 року^[5] він визнав, що доведення мало помилки, і дав доведення, що групи Матьє прості. Вітт^[6][7] нарешті припинив сумніви про існування цих груп, побудувавши їх, як послідовні транзитивні розширення груп перестановок, а також як групи автоморфізмів систем Штейнера.

Після груп Матьє нових спорадичних груп не виявляли до 1965 року, коли було відкрито групу J₁^[en].

Кратно транзитивні групи

Матьє цікавився пошуком кратно транзитивних груп перестановок. Для натурального числа k група перестановок G, яка діє на n точок, є k-транзитивною, якщо при заданні двох множин точок a₁, … a_k і b₁, … b_k зі властивістю, що всі a_i різні й всі b_i різні, існує елемент g групи G, який відображає a_i в b_і для всіх i від 1 до k. Така група називається гостро k-транзитивною, якщо елемент g єдиний (тобто дія на k-кортежі регулярна (строго транзитивна), а не просто транзитивна).

Група M₂₄ 5-транзитивна, а група M₁₂ — гостро 5-транзитивна. Інші групи Матьє (прості та не прості), як підгрупи, що відповідають стабілізаторам m точок, мають нижчу транзитивність (M₂₃ 4-транзитивна, і т. д.).

4-транзитивними групами є тільки симетричні групи S_k для ${\displaystyle k\geqslant 4}$, знакозмінні групи Ak для ${\displaystyle k\geqslant 6}$, і групи Матьє M₂₄^[en], M₂₃^[en], M₁₂^[en] та M₁₁^[en][8].

Класичним результатом є результат Жордана, що тільки симетрична та знакозмінні групи (степенів k і k + 2 відповідно), а також M₁₂ і M₁₁ є гостро k-транзитивними групами перестановок для ${\displaystyle k\geqslant 4}$.

Важливими прикладами кратно транзитивних груп є 2-транзитивні групи^[en] та групи Цассенгауса^[en]. Останні, зокрема, включають проєктивну загальну лінійну групу проєктивної прямої над скінченним полем, PGL(2,F_q), яка є гостро 3-транзитивною (див. Подвійне відношення) на ${\displaystyle q+1}$ елементах.

Таблиця порядків та транзитивності

Група	Порядок	Порядок (добуток)	Розклад порядку	Транзитивність	Проста	Спорадична
M24	244823040	3•16•20•21•22•23•24	2^10•3^3•5•7•11•23	5-транзитивна	так	спорадична
M23	10200960	3•16•20•21•22•23	2^7•3^2•5•7•11•23	4-транзитивна	так	спорадична
M22	443520	3•16•20•21•22	2^7•3^2•5•7•11	3-транзитивна	так	спорадична
M21	20160	3•16•20•21	2^6•3^2•5•7	2-транзитивна	так	≈ PSL3(4)
M20	960	3•16•20	2^6•3•5	1-транзитивна	ні
M12	95040	8•9•10•11•12	2^6•3^3•5•11	гостро 5-транзитивна	так	спорадична
M11	7920	8•9•10•11	2^4•3^2•5•11	гостро 4-транзитивна	так	спорадична
M10	720	8•9•10	2^4•3^2•5	гостро 3-транзитивна	почти	M10' ≈ Alt6
M9	72	8•9	2^3•3^2	гостро 2-транзитивна	ні	≈ PSU3(2)^[en]
M8	8	8	2^3	гостро 1-транзитивна (регулярна)	ні	≈ Q

Побудова груп Матьє

Групи Матьє можна побудувати різними способами.

Групи перестановок

M₁₂ має просту підгрупу порядку 660, максимальну підгрупу. Ця підгрупа ізоморфна проєктивній спеціальній лінійній групі PSL₂(F₁₁) над полем із 11 елементів. Якщо −1 позначити як a, а нескінченність як b, двома стандартними генераторами є перестановки (0123456789a) та (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третій генератор, що дає M₁₂, переводить елемент x групи F₁₁ у ${\displaystyle 4x^{2}-3x^{7}}$, як за перестановки (26a7)(3945).

Ця група виявляється не ізоморфною жодному з членів нескінченних сімейств скінченних простих груп і називається спорадичною. M₁₁ є стабілізатором точки M₁₂ і теж виявляється спорадичною простою групою. M₁₀, стабілізатор двох точок, не є спорадичною, але є майже простою групою, комутант якої — знакозмінна група A₆. Вона пов'язана з винятковим зовнішнім автоморфізмом^[en] групи A₆. Стабілізатор 3 точок — проєктивна спеціальна унітарна група^[en] PSU(3,2²), яка є розв'язною. Стабілізатор 4 точок — група кватерніонів.

Подібно, M₂₄ має максимальну просту підгрупу порядку 6072, ізоморфну PSL₂(F₂₃). Один генератор додає 1 кожному елементи поля (залишаючи точку N на нескінченності нерухомою), тобто перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а інший є перестановкою, що обертає порядок, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третій генератор, що дає M₂₄ переводить елемент x групи F₂₃ в ${\displaystyle 4x^{4}-3x^{15}}$. Обчислення показують, що це перестановка (2G968)(3CDI4) (7HABM)(EJLKF).

Стабілізатори 1 і 2 точок, M₂₃ і M₂₂, також виявляються простими спорадичними групами. Стабілізатор 3 точок є простою групою та ізоморфний проєктивній спеціальній лінійній групі PSL₃(4).

Ці побудови процитував Кармайкл^[9]. Діксон і Мортімер^[10] приписують перестановки Емілю Матьє.

Групи автоморфізмів систем Штейнера

Існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Вітта). Група M₂₄ є групою автоморфізмів цієї системи Штейнера, тобто множина перестановок, які відображають кожен блок у деякий інший блок. Підгрупи M₂₃ та M₂₂ визначаються як стабілізатори однієї точки та двох точок відповідно.

Подібним чином, існує з точністю до еквівалентності єдина S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а група M₁₂ є її групою автоморфізмів. Підгрупа M₁₁ є стабілізатором точки.

W₁₂ можна побудувати з афінної геометрії на векторному просторі F₃×F₃ системи S(2,3,9).

Альтернативна побудова W₁₂ — «кошеня» Кертіса^[11].

Вступ до побудови W₂₄ за допомогою чудового генератора октад^[en] Р. Т. Кертіса та аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можна знайти в книзі Конвея і Слоуна.

Групи автоморфізмів кодів Голея

Група M₂₄ є групою автоморфізмів перестановок^[en] розширеного двійкового коду Голея W, тобто групи перестановок 24 координат, що відображають W в себе. Усі групи Матьє можна побудувати як групи перестановок двійкових кодів Голея.

M₁₂ має у своїй групі автоморфізмів індекс 2, а M₁₂:2 виявляється ізоморфною підгрупою групи M₂₄. M₁₂ є стабілізатором коду з 12 одиниць. M₁₂:2 стабілізує розділення у двох комплементарних кодах з 12 біт.

Існує природний зв'язок між групами Матьє та більшими групами Конвея, оскільки ґратку Ліча побудовано на бінарному коді Голея й обидві групи, фактично, лежать у просторі розмірності 24. Групи Конвея виявлено в Монстрі. Роберт Ґріс^[en] називає 20 спорадичних груп, знайдених у Монстрі, щаслива родина, а групи Матьє — перше покоління.

Dessins d'enfants

Групи Матьє можна побудувати за допомогою dessins d'enfants^[en] (з фр. — дитячий малюнок)^[12], а малюнок, асоційований з M₁₂, ле Брюн назвав «Monsieur Mathieu» (Месьє Матьє)^[13].

Примітки

1. Mathieu, 1861.
2. Mathieu, 1873.
3. Mathieu, 1861, с. 271.
4. Miller, 1898.
5. Miller, 1900.
6. Witt, 1938a.
7. Witt, 1938b.
8. Cameron, 1999, с. 110.
9. Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
10. Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
11. Curtis, 1984.
12. Буквально — дитячий малюнок (фр.). Термін запропонував Гротендік для одного з видів вкладення графів.
13. le Bruyn, 2007.

Література

• Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
• Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-65378-7.
• Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York : Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальний рік видання: 1937
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Т. 167 (May). — С. 1–27. — DOI:10.2307/1996123.
• C. Choi. On Subgroups of M₂₄. II: the Maximal Subgroups of M₂₄ // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Т. 167 (May). — С. 29–47. — DOI:10.2307/1996124.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA : Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.) — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften) — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вип. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — DOI:10.1017/S0305004100052075.
• Curtis R. T. (1977), The maximal subgroups of M₂₄, т. 81, № 2 (вид. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society), с. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926
• Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982 / Michael D. Atkinson. — Boston, MA : Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
• Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 978-0-387-94599-6. — DOI:10.1007/978-1-4612-0731-3.
• Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte) — ISBN 978-3-11-109790-9.
• Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics) — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
• Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46.^{[недоступне посилання з червня 2018]} Язык: Французский
• Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
• Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
• Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
• Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs) — ISBN 978-0-88385-023-7.
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — DOI:10.1007/BF02948948.
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — DOI:10.1007/BF02948947.
• Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архівовано з джерела 1 травня 2010.

Посилання

• ATLAS: Mathieu group M ₁₀ Архівовано травень 14, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₁₁ Архівовано травень 14, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₁₂ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₀ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₁ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₂ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₃ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• ATLAS: Mathieu group M ₂₄ Архівовано липень 16, 2011 на сайті Wayback Machine.
• How to Make the Mathieu Group M₂₄. Процитовано 2010-04-15.
• Mathieu group M ₉ на GroupNames

• Scientific American Архівовано вересень 8, 2008 на сайті Wayback Machine.
• Sporadic M12 Архівовано грудень 2, 2017 на сайті Wayback Machine. An iPhone app that implements puzzles based on M ₁₂