Голоморфна функція

Математичний аналіз → Комплексний аналіз
Комплексний аналіз
Комплексне число
Дійсне число Уявне число Комплексна площина Спряжені числа
Комплексні функції
Комплекснозначна функція Аналітична функція Голоморфна функція Умови Коші — Рімана Формальний степеневий ряд
Основна теорія
Інтегральна теорема Коші Інтегральна формула Коші Індекс замкнутої кривої Ряд Лорана Ізольована особлива точка Теорема про лишки Конформне відображення Лема Шварца Гармонічна функція Рівняння Лапласа
Люди
Оґюстен-Луї Коші Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Ріман Карл Веєрштрас
п о р

Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, визначена на відкритій підмножині комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$, що має комплексну похідну в кожній точці цієї множини. Голоморфність функції є досить сильною умовою. На відміну від випадку дійсних функцій, голоморфність означає, що функція є нескінченно диференційовною і рівна сумі свого ряду Тейлора в околі кожної точки.

В комплексному аналізі голоморфні функції також називають аналітичними і обидва терміни використовуються в літературі як синоніми. Проте поняття аналітичних функцій має зміст і для функцій дійсних змінних. Факт, що для комплексних функцій комплексної змінної множини голоморфних та аналітичних функцій є рівними є одним із головних результатів комплексного аналізу.

Означення

Існує кілька рівнозначних способів означення голоморфних функцій, кожен з яких є дуже важливим у їх теорії і відіграв важливу роль в історії комплексного аналізу.

Через диференційовність функції

Нехай ${\displaystyle z=x+iy}$ позначає змінну комплексну величину, а ${\displaystyle x,y}$ відповідно її дійсна і уявна складові. Тоді комплексну функцію комплексної змінної можна записати як ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x+iy)+iv(x+iy).}$Тобто задання комплексної функції комплексної змінної рівнозначне заданню двох дійсних функцій двох дійсних аргументів. Подібна рівнозначність дає два можливих узагальнення поняття диференційовності на функції комплексної змінної.

Функцію ${\displaystyle f}$ визначену в деякому околі точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ називають комплексно диференційовною в точці ${\displaystyle z_{0}}$, якщо існує границя:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

У цьому виразі границя береться по всіх послідовностях комплексних чисел, що сходяться до ${\displaystyle z_{0}}$. Для всіх таких послідовностей даний вираз має сходитися до одного і того ж комплексного числа ${\displaystyle f'(z_{0}).}$ Дане визначення є природним узагальненням похідної дійсної функції.

Якщо ж розглядати функцію, як функцію двох дійсних змінних ${\displaystyle f(x+iy),}$ то можна визначити дійсний диференціал функції як:

${\displaystyle df={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy,\;}$ де ${\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x},\;{\partial f \over \partial y}={\partial u \over \partial y}+i{\partial v \over \partial y}.}$

Функція, що є комплексно диференційовною в точці ${\displaystyle z_{0}}$, є в ній дійсно диференційовною. Натомість дійсно диференційовна функція є комплексно диференційовною якщо її часткові похідні задовольняють умови Коші — Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Якщо визначити диференціальні оператори ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$ то умови Коші — Рімана можна переписати як ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0.}$

Функція називається голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}}$ якщо вона є комплексно диференційовною в усіх точках деякого околу точки ${\displaystyle z_{0}}$, тобто для якої існує визначена вище комплексна границя або, еквівалентно, функція є дійсно диференційовною і задовольняє умови Коші — Рімана. Функція називається голоморфною в множині ${\displaystyle U}$ якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини ${\displaystyle V}$ для якої ${\displaystyle U\subset V.}$

Зауваження

• Для областей (відкритих зв'язаних множин) голоморфність на множині еквівалентна комплексній диференційовності в усіх точках області. Для загальних множин це не так; наприклад голоморфність в точці є сильнішою умовою, ніж комплексна диференційовність в точці. Прикладом може бути функція ${\displaystyle f(z)=z{\bar {z}},}$ яка є диференційовною але не голоморфною в точці 0.
• Існування часткових похідних ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial v}{\partial x}}}$ і виконання умов Коші — Рімана не є достатньою умовою комплексної диференційовності. Прикладом може бути функція

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}{\frac {({\bar {z}})^{2}}{z}},&z\not =0\\0,&z=0\end{cases}}.}$

В точці ${\displaystyle z=0}$ часткові похідні по дійсних змінних існують і рівні ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=1,\;\;{\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=i,}$ тобто умови Коші — Рімана в цій точці виконуються. Натомість комплексна похідна ${\displaystyle f'(0)}$ не є визначеною. Дійсно, якщо у означенні похідної прямувати до точки ${\displaystyle 0}$ по множині дійсних чисел то границя у означенні буде рівною:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+i0)-f(0)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {({\bar {x}})^{2}/x-0}{x}}=1.}$

Натомість, якщо прямувати по прямій ${\displaystyle x=y}$ то

${\displaystyle \lim _{x+ix\to 0}{\frac {f(x+ix)-f(0)}{x+ix}}=\lim _{x+ix\to 0}{\frac {x^{2}{\overline {(1+i)^{2}}}}{x^{2}(1+i)^{2}}}={\frac {-2i}{2i}}=-1.}$

• Іншим прикладом до попереднього зауваження є функція

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}e^{-1/z^{4}},&z\not =0\\0,&z=0\end{cases}}.}$

Для неї всі часткові похідні в точці ${\displaystyle z=0}$ існують і рівні нулю, тобто задовольняють умови Коші — Рімана але в цій точці функція навіть не є неперервною.

• Натомість згідно теореми Лумана — Меньшова, якщо у деякій відкритій підмножині комплексної площини функція є неперервною, часткові похідні існують у кожній точці і всюди задовольняються умови Коші — Рімана, то функція є голоморфною у кожній точці множини.

Через степеневі ряди

Функція ${\displaystyle f(z)}$ комплексної змінної називається голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ якщо існує деякий окіл точки ${\displaystyle z_{0}}$ в якому дана функція рівна сумі степеневого ряду (який називається рядом Тейлора функції у точці ${\displaystyle z_{0}}$):

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$.

Функція називається голоморфною в множині ${\displaystyle U}$ якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини ${\displaystyle V}$ для якої ${\displaystyle U\subset V.}$

Еквівалентність двох означень є однією з найважливіших властивостей голоморфних функцій.

Приклади

Цілі функції

Функція, що є голоморфною в усій множині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ називається цілою функцією. Цілі функції є сумами свого ряду Тейлора в будь-якій точці (цей ряд завжди буде збіжним на всій комплексній площині). Прикладами цілих функцій є:

• Многочлени ${\displaystyle \textstyle z\mapsto \sum _{j=0}^{n}a_{j}z^{j}}$ де коефіцієнти ${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {C} }$. Ціла функція є многочленом тоді і тільки тоді коли її ряд Тейлора має скінченну кількість доданків. Окремими випадками є константи, лінійні функції, квадратичні функції.
• Експонента ${\displaystyle \exp(z)}$ для якої ряд Тейлора має вигляд: ${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots .}$
• Тригонометричні функції ${\displaystyle \sin }$ і ${\displaystyle \cos }$
  • ${\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$
  • ${\displaystyle \cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}}$
• Гіперболічні функції ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ і ${\displaystyle \operatorname {ch} }$
  • ${\displaystyle \operatorname {sh} z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}}$

Функції, що є голоморфними не на всій комплексній площині

• Раціональні функції є голоморфними на всій множині комплексних чисел за винятком скінченної множини (специфічної для кожної окремої раціональної функції), в якій функція має полюс.
• Логарифмічна функція ${\displaystyle \log }$ на множині ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus {]{-}\infty ,0]}}$ буде голоморфною, якщо з нескінченної множини можливих значень в кожній точці вибрати єдине так щоб функція була неперервною. Щоб вирішити проблему з багатозначністю потрібно розглядати аналітичні продовження і багатозначні функції або поверхні Рімана.

Ніде не голоморфні функції

Прикладами функцій, що не є голоморфними в жодній точці є:

• Абсолютна величина ${\displaystyle z\mapsto |z|}$
• Дійсна частина комплексного числа ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Re} (z)}$ і уявна частина комплексного числа ${\displaystyle z\mapsto \mathrm {Im} (z)}$.
• Комплексне спряження ${\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}}$

Властивості

• Якщо функції ${\displaystyle f,g}$ є голоморфними у множині ${\displaystyle U}$, то і функції ${\displaystyle f+g,\;fg,\;cf\;\;(c\in \mathbb {C} )}$ є голоморфними в ${\displaystyle U}$. Якщо також${\displaystyle g(z)\not =0,\;\forall z\in U,}$ то функція ${\displaystyle f/g}$ теж є голоморфною в ${\displaystyle U}$. Якщо ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {C} }$ — дві множини, ${\displaystyle f,g}$ є голоморфними відповідно в ${\displaystyle U,V}$ і також ${\displaystyle f(U)\subset V}$ то композиція ${\displaystyle g\circ f}$ є голоморфною в ${\displaystyle U}$.
• Похідна голоморфної функції є теж голоморфною, тому голоморфні функції є нескінченно диференційовними у своїй області визначення. До того ж у записі розкладу функції як суми степеневого ряду коефіцієнти ряду рівні ${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}},}$ тобто ряд є рядом Тейлора даної функції.
• Принцип максимуму модуля. Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).
• Теорема про рівність. Якщо функції ${\displaystyle f,g}$ є голоморфними в області ${\displaystyle U}$ і множина точок в яких ці функції рівні: ${\displaystyle \{z\in U:f(z)=g(z)\}}$ має граничну точку, то функції тотожно рівні на множині ${\displaystyle U}$. Зокрема голоморфні функції, що рівні на якомусь відрізку чи прямій (наприклад на дійсній прямій) рівні всюди де вони обидві визначені. Ще одним наслідком є те, що всі нулі голоморфної функції є ізольованими і для кожного нуля ${\displaystyle z_{0}}$ існує окіл ${\displaystyle U}$ в якому функція може бути записана як ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{k}h(z),}$ де k — натуральне число, що називається порядком нуля в точці ${\displaystyle z_{0}}$, а ${\displaystyle h(z)}$ — голоморфна функція, що не рівна 0 в ${\displaystyle U}$.
• Якщо ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x+iy)+iv(x+iy)}$є голоморфною функцією, то дійсні функції ${\displaystyle u(x,y),v(x,y)}$ є гармонічними, тобто задовольняють рівняння Лапласа: ${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0;\;\;\Delta v={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}$
• Нехай ${\displaystyle f_{j}(z):U\to \mathbb {C} }$ є послідовністю функцій, що є голоморфними у відкритій множині ${\displaystyle U}$. Нехай ${\displaystyle f(z):U\to \mathbb {C} }$ — функція для якої для будь-якої компактної підмножини ${\displaystyle E\subset U}$, функції ${\displaystyle f_{j}|_{E}}$ рівномірно збігаються до ${\displaystyle f|_{E}.}$ Тоді ${\displaystyle f}$ є голоморфною у множині ${\displaystyle U}$. До того ж всі похідні ${\displaystyle f^{(n)}}$ будуть границями похідних членів послідовності ${\displaystyle f_{j}^{(n)}(z)}$ і збіжності, знову ж. будуть рівномірними на компактних підмножинах (теорема Веєрштрасса).

Інтегральні теореми

Одними з найважливіших результатів теорії голоморфних функцій є ряд результатів про властивості лінійних інтегралів:

• Інтегральна теорема Коші. Якщо γ є спрямлюваною простою замкнутою кривою в однозв'язній області U в якій функція f : U → C є голоморфною то для лінійного інтегралу завжди

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

• Теорема Морери є оберненим твердженням яке разом з інтегральною теоремою Коші фактично є ще одним визначенням голоморфних функцій але лише в однозв'язних областях.
• Інтегральна формула Коші. При тих же припущеннях, що і вище значення голоморфної функції в любій точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ повністю визначається значеннями функції на самій кривій:

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.}$

• Також аналогічні формули існують і для обчислення значень похідних функції в точці, що знаходиться в області обмеженій кривою γ:

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,dz.}$

Особливі точки

Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ не є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$, але голоморфна в усіх інших точках деякого околу ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$, то ця точка називається особливою. Багато властивостей функції в області голоморфності може залежати від властивостей особливої точки.

• Так, у деякому околі особливої точки ${\displaystyle z_{0}}$ (в якому функція є голоморфною всюди, окрім ${\displaystyle z_{0}}$) функція розкладається в ряд Лорана, що є узагальненням ряду Тейлора, де крім додатних можуть бути й від'ємні степені змінної.
  • Особливе значення має коефіцієнт при ${\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}$ у цьому розкладі, який називається лишком. Основна теорема про лишки є узагальненням інтегральної теореми Коші на випадок, коли в області обмеженій кривою є особливі точки.
• Поведінка функції в околі особливої точки залежить від того чи є ця точка усувною, полюсом, чи суттєвою особливою точкою.
• Функція, що в деякій області є голоморфною всюди, окрім множини ізольованих точок, які є полюсами, називається мероморфною. Кожна мероморфна в області функція є часткою двох голоморфних в області функцій.

Конформні відображення

• Образом області (відкритої зв'язаної множини) при голоморфній функції буде теж область.
• Якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ і також ${\displaystyle f'(z_{0})\not =0,}$ то відображення є конформним тобто зберігає кути.
• Якщо в області ${\displaystyle U}$ голоморфна функція є ін'єктивною то всюди ${\displaystyle f'(z)\not =0,}$ тобто функція визначає взаємно-однозначне конформне відображення.
• Теорема Рімана про відображення. Для довільної однозв'язної відкритої підмножини ${\displaystyle U}$ комплексної площини ${\displaystyle \mathbb {C} }$, що не збігається з усією ${\displaystyle \mathbb {C} }$, існує бієктивне голоморфне відображення ${\displaystyle f\,}$ із множини ${\displaystyle U\,}$ на відкритий одиничний круг${\displaystyle D=\{z\in {\mathbb {C} }:|z|<1\}.}$

Алгебричні властивості

Нехай ${\displaystyle U}$ є відкритою зв'язаною підмножиною комплексної площини і ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ позначає множину голоморфних функцій на ${\displaystyle U.}$ Із операціями поточкового додавання і множення функцій ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є комутативним кільцем. Із операцією множення на комплексні числа ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є алгеброю над полем ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• Кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є областю цілісності (що є наслідком теореми про рівність) і навіть кільцем Безу. Проте ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ не є факторіальним кільцем.
• Кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ не є нетеровим.
• Теорема Берса. Якщо ${\displaystyle U,U'}$ є двома відкритими зв'язаними підмножинами комплексної площини, то відображення ${\displaystyle F:\ {\mathcal {H}}(U')\to {\mathcal {H}}(U)}$ є гомоморфізмом алгебр тоді і тільки тоді, коли існує голоморфна функція ${\displaystyle \varphi :\ U\to U'}$ така, що ${\displaystyle F(f)=f\circ \varphi }$ для кожної функції ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(U').}$ Така функція ${\displaystyle \varphi :\ U\to U'}$ у цьому випадку є визначеною однозначно і якщо ${\displaystyle F:\ {\mathcal {H}}(U')\to {\mathcal {H}}(U)}$ є ізоморфізмом, то вона є голоморфним ізоморфізмом.
• Будь-які дві функції ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(U),}$ для яких не існує жодної точки в якій обидві функції є рівними нулю, породжують кільце ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U).}$
• Нехай ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {H}}(U).}$ Тоді функція ${\displaystyle g\in {\mathcal {H}}(U)}$ належить ідеалу породженому цими функціями, якщо і тільки якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in U}$ росток ${\displaystyle g_{x}}$ належить ідеалу, породженому ростками ${\displaystyle f_{1,x},\ldots ,f_{n,x}.}$
• Кожен скінченнопороджений ідеал у ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є головним. Ідеал у ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ є скінченнопородженим (і тому головним) тоді і тільки тоді, коли він є замкненою підмножиною ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ у компактно-відкритій топології.

Функції багатьох комплексних змінних

Означення

Означення голоморфності переноситься і на випадок функцій багатьох комплексних змінних, тобто функцій виду ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(z_{1},\ldots ,z_{n})\to f(z_{1},\ldots ,z_{n}).}$ Для цього випадку теж можна записати комплексні змінні через дійсні і уявні складові ${\displaystyle z_{k}=x_{k}+iy_{k},}$ комплексну функцію через дві дійсні функції ${\displaystyle f=u+iv}$ і ввести позначення ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{k}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right)}$ і${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\right).}$

Якщо функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ є диференційовною як функція 2n дійсних змінних ${\displaystyle x_{k},y_{k},\;\;k=1,...,n}$ то у введених позначеннях її (дійсний) диференціал можна записати як:

${\displaystyle df=\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial z_{k}}dz_{k}+\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial {\bar {z}}_{k}}d{\bar {z}}_{k}.}$

Функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ називається комплексно диференційовною в точці, якщо насправді можна записати в цій точці ${\displaystyle df=\sum _{k=1}^{n}{\partial f \over \partial z_{k}}dz_{k},}$ що є еквівалентним виконанню в цій точці системи Коші — Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{k}}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{k}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{k}}},\;\;k=1,...,n}$

Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в околі цієї точки. Функція називається голоморфною у відкритій множині, якщо вона є голоморфною в кожній точці множини.

Як і у випадку функцій однієї змінної можна дати еквівалентне означення за допомогою збіжних степеневих рядів. Функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ називається голоморфною в точці ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$, якщо існує окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle a}$ в усіх точках якого:

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}.}$

З теорем Хартогса і Осґуда випливає, що для голоморфності функції достатньою є її голоморфність по кожній змінній при фіксованих інших.

Властивості

Багато властивостей голоморфних функцій однієї змінної переносяться на випадок багатьох змінних.

• Суми, добутки, множення на скаляр, частки (коли дільник не рівний нулю в множині) голоморфних в множині функцій теж є голоморфними в цій множині.
• Голоморфні функції є нескінченно диференційовними і в розкладі в ряд Тейлора коефіцієнти рівні${\displaystyle c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z)={\frac {(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}\,\left({\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial z_{1}^{k_{1}}\cdots \partial z_{n}^{k_{n}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{n})}$
• Якщо ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною, то і ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z_{k}}}}$ є голоморфною функцією.
• Якщо функція ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=u(z_{1},\ldots ,z_{n})+iv(z_{1},\ldots ,z_{n})}$є голоморфною, то дійсні функції ${\displaystyle u,v}$ є плюрігармонічними.
• Нехай ${\displaystyle f_{j}(z):U\to \mathbb {C} }$ є послідовністю функцій, що є голоморфними у відкритій множині ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$. Нехай дана послідовність рівномірно збігається до функції ${\displaystyle f(z):U\to \mathbb {C} }$. Тоді ${\displaystyle f}$ є голоморфною у множині ${\displaystyle U}$.
• Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).
• Нехай ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною ${\displaystyle f\not \equiv 0}$ і ${\displaystyle f(a)=0.}$ Тоді існує таке невироджене лінійне перетворення змінних, що в деякому околі точки a функція матиме вид:

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=h(z_{1},\ldots ,z_{n})\left(\sum _{j=0}^{k-1}g_{j}(z_{2},\ldots ,z_{n})(z_{1}-a_{1})^{j}+(z_{1}-a_{1})^{k}\right),}$

де ${\displaystyle h(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ — голоморфна функція в зазначеному околі, ніде не рівна на ньому нулю, ${\displaystyle g_{j}(z_{2},\ldots ,z_{n})}$ — голоморфні функції в n- 1 змінної в околі точки ${\displaystyle (a_{2},\ldots ,a_{n})}$, що рівні нулю в точці ${\displaystyle a.}$

• Наслідком з попередньої формули є те, що в малому околі довільного нуля голоморфної функції n змінних (не константи) розмірність простору нулів рівна n- 1. Зокрема для голоморфних функцій більш, ніж однієї змінної ізольованих нулів немає.
• Узагальнена формула Коші. Визначивши замкнутий полікруг

${\displaystyle {\bar {D}}(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert \leqslant r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}}$,

відкритий полікруг ${\displaystyle D(z,r)}$ аналогічно лише зі строгими нерівностями і його остов

${\displaystyle T(z,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert z_{k}-w_{k}\vert =r_{k},\forall k=1,\dots ,n\},}$,

багатовимірний варіант формули Коші можна записати як:

${\displaystyle f(w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{T(z,r)}{\frac {f(\xi )}{(\xi _{1}-w_{1})(\xi _{2}-w_{2})\cdots (\xi _{n}-w_{n})}}\,d\xi ,\;\;\;\forall (w_{1},\ldots ,w_{n})\in D(z,r).}$

Див. також

• Аналітична функція
• Антиголоморфна функція
• Гармонічна функція
• Мероморфна функція
• Плюрігармонічна функція
• Умови Коші — Рімана
• Ціла функція

Література

• Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972;
• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд., М., 1976;
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic functions of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13308-8.
• Karunakaran, V. (2005), Complex Analysis (вид. 2nd), Alpha Science International Ltd., ISBN 1-84265-171-4
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372