Гармонічні коливання

Гармонічні коливання
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Гармонічні коливання у Вікісховищі

При проходженні хвилі в просторі кожна точка здійснює гармонічні коливання

Гармонічними коливаннями називаються періодичні коливання^[1] фізичної величини (або будь-якої іншої) залежно від часу, які відбуваються згідно із законами синуса або косинуса

${\displaystyle y=A\cos(\omega t+\varphi )}$,

або

${\displaystyle y=A\sin(\omega t+\varphi )}$,

де ${\displaystyle y}$ — це фізична величина, що коливається, ${\displaystyle t}$ — час, ${\displaystyle A}$ — це найбільше значення, яке приймає величина ${\displaystyle y}$ під час коливань, яке називають амплітудою коливань, ${\displaystyle \omega }$ — циклічна частота коливань, ${\displaystyle \varphi }$ — фаза коливань.

Періодом коливань називається величина

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$.

Частота коливань визначається, як

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{T}}}$.

Диференціальні рівняння

Фізична величина ${\displaystyle y}$, яка здійснює гармонічні коливання, задовольняє диференціальне рівняння

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega ^{2}y=0}$.

У цьому випадку амплітуда коливань визначається початковими умовами.

Гармонічний осцилятор із частотою ${\displaystyle \omega _{0}}$ може здійснювати гармонічні коливання на іншій частоті ${\displaystyle \omega }$ під впливом зовнішньої дії з цією частотою. У такому випадку гармонічні коливання величини ${\displaystyle y}$ задовольняє диференціальному рівнянню

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=f\cos(\omega t+\varphi )}$.

Такі коливання називаються вимушеними. Амплітуда вимушених коливань визначається величиною зовнішньої дії та співвідношенням величин власної частоти та частоти зовнішньої сили. Див. Резонанс.

Згасання гармонічних коливань

В результаті дії різноманітних сил, які призводять до втрати енергії, коливання можуть згасати. В такому випадку вони описуються формулою

${\displaystyle y=y_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t+\varphi )}$.

Величина ${\displaystyle \alpha }$ називається декрементом згасання коливань. Обернена до декременту величина називається сталою часу згасаючих коливань.

Ангармонічні коливання

Періодичні коливання, що не описуються вказаним законом називаються ангармонічними. Якщо величина ${\displaystyle y}$ здійснює коливання із періодом ${\displaystyle T}$ таким чином, що

${\displaystyle y(t+T)=y(t)}$,

то їхня частота визначається, як ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$.

Ангармонічні коливання, які є періодичною функцією, можна розкласти в ряд Фур'є, тобто записати у вигляді суми гармонічних коливань:

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(n\omega t+\varphi )}$.

Члени цього розкладу називаються гармоніками. В акустиці вищі члени такого розкладу називаються також обертонами; саме вони визначають тембр звуку.

Приклади

Гармонічні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині тягаря, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад у коливальному контурі та інші.

Див. також

• Вимушені коливання
• Гармонічний осцилятор
• Гармонічний ряд звуків

Примітки

1. Бишоп Р., Колебания, Москва, Наука, 1979, 160 с.[1] [Архівовано 1 грудня 2018 у Wayback Machine.]