Гайнц виріс в Катернберзі — районі міста Ессена, там же, паралельно навчаючись на столяра, почав займатися футболом у молодіжному складі місцевого клубу «Шпортфройнде», в якому потім почав і дорослу кар'єру. В ті часи більшість гравців команди працювало на місцевій вугільній шахті.
У 1947 році Кубш стартував разом з командою в першому розіграші турніру Оберліги «Захід», яка була вищою футбольною лігою не тільки регіону, але і країни, нарівні з оберлігами «Північ», «Південний Захід», «Південь» та «Берлін», аж до створення єдиної Бундесліги. 25 січня1948 року Гайнц вперше вийшов на поле в 17-річному віці, ставши, тим самим, наймолодшим воротарем в Німеччині. За підсумками сезону 1947/48 став, разом з командою, віце-чемпіоном. У наступному розіграші вже був основним воротарем, зігравши у всіх 24 матчах клубу, однак, сезон закінчився невдало — «Шпортфройнде» посів останнє, 13-е місце в турнірі і покинув лігу.
Однак команді вдалося за один сезон повернутися в Оберлігу, де в сезоні 1950/51 Кубш знову захищав ворота команди у всіх матчах турніру (30 ігор), за підсумками якого клуб зайняв 12-е місце. У наступному сезоні зіграв у 28 матчах з 30, а команда посіла 10-е місце. У своєму останньому за «Шпортфройнде» сезоні зіграв у всіх 30 зустрічах клубу в лізі, проте турнір для команди завершився невдало — вона посіла передостаннє, 15-е місце і знову покинула Оберлігу, а Гайнц вирішив змінити команду. Всього Кубш провів за «Шпортфройнде» 122 матчу в Оберлізі.
«Пірмазенс»
У 1953 році перейшов в клуб «Пірмазенс» з однойменного міста, у складі якого в сезоні 1953/54 зіграв у 30 матчах клубу і став, разом з командою, віце-чемпіоном Оберліги «Південний Захід». У наступні два сезони провів 27 матчів з 30. У сезонах 1956/57 і 1957/58 знову зіграв у всіх 30 зустрічах клубу, внісши внесок у завоювання титулу чемпіона в сезоні 1957/58.
У сезоні 1958/59 «Пірмазенс» знову став чемпіоном, а Кубш як основний воротар команди зіграв у 28 матчах з 30. У наступному сезоні клуб знову повторив успіх, а Гайнц, зігравши в 21 зустрічі з 30, став втретє чемпіоном Оберліги «Південний Захід». У своєму останньому сезоні провів 29 матчів із 30, і став, разом з командою, третім призером турніру, після чого завершив кар'єру гравця. Свій останній офіційний матч зіграв 16 квітня1961 року в Нойнкірхені проти місцевої «Боруссії». Всього Кубш провів за «Пірмазенс» 222 матч в Оберлізі.
1953 року перейшов до клубу «Пірмазенс», за який відіграв 8 сезонів. Граючи у складі «Пірмазенса», також здебільшого виходив на поле в основному у складі команди. Завершив професійну кар'єру футболіста виступами за команду «Пірмазенс» у 1961 році.
9 листопада1952 року Кубш дебютував на рівні збірних, зігравши за другу команду ФРН у товариському матчі зі швейцарцями в Базелі, який німці виграли з рахунком 2:0.
23 березня1955 року зіграв в Шеффілді у матчі другої збірної Німеччини з командою Англії (1:1). Другий раз зіграв за головну збірну країни 28 травня 1955 року проти збірної Ірландії в Гамбургу, яку німці обіграли з рахунком 2:1[1]. У наступному році знову спочатку зіграв за другу збірну 15 вересня, а потім 21 листопада провів свій третій і останній матч за першу збірну. У тій зустрічі німці вдома у Франкфурті-на-Майні поступилися Швейцарії з рахунком 1:3[1]. Після цього на рівні національних збірних не виступав. Крім цього, 18 листопада 1959 і 19 березня 1960 року зіграв 2 матчі у складі збірної Південно-Західної Німеччини проти, відповідно, збірних Південної і Північної Німеччини.
Всього протягом кар'єри у національній команді, яка тривала усього 3 роки, провів у формі головної команди країни лише 3 матчі, пропустивши 7 голів.
