Професіональну кар'єру почав в клубі другої української ліги, «Олімпіку» (Кіровоград), який вже через рік був перейменований в «Зірку», однак за нову команду 18-річний воротар зіграв лише одну гру.
Влітку 2010 року Ігор переїхав до Києва, де підписав контракт з прем'єрліговою «Оболонню». На заміну Березовському в «Зірку» з «Оболоні» відправився Андрій Товт. Дебютував в Прем'єр-лізі Березовський 9 квітня2011 року в грі проти донецького «Шахтаря» в Донецьку, вийшовши на заміну на 75-й хвилині заміть травмованого Олександра Рибки і зберіг ворота «сухими». Матч закінчився сенсаційною перемогою «пивоварів» з рахунком 1:0.
19 лютого2013 року, Березовський у своєму Твіттері написав про підписання контракту з польською «Легією»[3]. В тому сезоні варшавська команда з Березовським у складі виграла національний кубок та чемпіонат, проте Ігор на поле так жодного разу і не вийшов, програвши конкуренцію основному голкіперу команди Душану Куцяку.
В липні 2013 року підписав контракт за схемою 3+1 з бельгійським «Льєрсом»[4]. 16 січня 2015 року перейшов в оренду до клубу другого дивізіону чемпіонату Бельгії «Сінт-Трейден» до кінця сезону 2014/15[5].
.svg){kind=small}
