У 1994 році розпочав кар'єра в грузинському клубі «Діла» (Горі). У 1998 році виступав у клубах «Одіши» (Зігдуді) та «Торпедо» (Кутаїсі), після чого повернувся до «Діли».
На початку 1999 року перейшов до тернопільської «Ниви». 7 березня 1999 року дебютував за тернопільську команду у програному (0:1) виїзному поєдинку 16-го туру вищої ліги чемпіонату України проти сімферопольської «Таврії». Кайдарашвілі вийшов на поле у стартовому складі, а на 77-й хвилині був замінений на Сергія Хоменка[1]. Дебютним голом за «Ниву» відзначився 21 березня 1999 року на 70-й хвилині програного (1:2) виїзного поєдинку 18-го туру вищої ліги чемпіонату України проти криворізького «Кривбаса». Александр вийшов на поле у стартовому складі та відіграв увесь поєдинок[2]. У складі тернопільської команди у чемпіонаті України зіграв 24 матчі та відзначився 6-ма голами. Під час зимової перерви сезону 1999/00 років у зв'язку з тяжким фінансовим становищем клубу «Нива» була змушена продати його до запорізького «Металурга»[3]. Але зіграти у складі ФК «Металурга» гравець не встиг й одразу ж був проданий до криворізького «Кривбаса»[4]. У своєму новому клубі дебютував 11 березня 2000 року у переможному (0:1) виїзному поєдинку 1/16 фіналу кубку України проти олександрійської «Поліграфтехніки». Кайдарашвілі вийшов у стартовому складі та відіграв увесь матч[5]. А вже 18 березня того ж року дебютував за криворізьку команду у нічийному (2:2) поєдинку 16-го туру вищої ліги чемпіонату України проти дніпропетровського «Дніпра». Александр вийшов на поле на 68-ій хвилині, замінивши Олександра Паляницю[6]. Дебютним голом за «Кривбас» відзначився 25 березня 2000 року на 89-ій хвилині переможного (4:2) виїзного поєдинку вищої ліги чемпіонату України проти сімферопольської «Таврії». Александр вийшов на поле на 75-ій хвилині, замінивши Олександра Паляницю[7]. У футболці «Кривбаса» у чемпіонаті України зіграв 13 матчів та відзначився 1 голом, ще 6 матчів провів у кубку України. Окрім виступів за головну команду криворіжців, виступав і за його друголіговий фарм-клуб, «Кривбас-2». У футболці другої команди «Кривбасу» зіграв 9 матчів та відзначився 1 голом.
12 серпня 1998 року дебютував у складі національної збірної Грузії у товариському поєдинку проти Азербайджану. Александр вийшов на поле у стартовому складі та відіграв увесь поєдинок[8].
