Ізольована точка кривої

Ізольована точка у початку координат (крива описана в тексті статті)

Ізольована точка кривої (англ. acnode) — тип особливої ​​точки, координати якої задовольняють рівняння алгебричної кривої.^[1]

Ізольовані точки зазвичай знаходять при вивченні плоских алгебричних кривих над не алгебрично замкнутими полями, які визначаються як множина нулів багаточлена від двох змінних. Наприклад, рівняння

${\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0\;}$

має ізольовану точку у початку координат ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, оскільки воно еквівалентно

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$

а ${\displaystyle x^{2}(x-1)}$ невід'ємне при ${\displaystyle x}$ ≥ 1 або ${\displaystyle x=0}$. Таким чином, над полем дійсних чисел рівняння не має розв'язків для ${\displaystyle x<1}$, за винятком (0, 0).

На відміну від дійсного поля рівняння над полем комплексних чисел не має ізольованої точки на початку координат, оскільки квадратний корінь з від'ємних чисел існує.

Ізольована точка є особливою точкою функції: обидві частинні похідні ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ і ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ обертаються в цій точці в нуль. Більш того матриця Гессе других похідних буде додатньо або від'ємно визначена.

Примітки

1. Hazewinkel, M. (2001), «Acnode [Архівовано 10 листопада 2014 у Wayback Machine.]», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Література

• Ian Porteous. Geometric Differentation. — Cambridge University Press, 1994. — ISBN 0-521-39063-X.