Юнус Акгюн є вихованцем футбольної академії стамбульського клуба «Галатасарай», до якої потрапив у 2011 році. Дебют в основі відбувся 5 серпня 2018 року у матчі за Суперкубок Туреччини.[1] Але надалі для набуття ігрової практики Акгюн змушений був відправитися в оренду. Він двічі виступав за клуб «Адана Демірспор». Перед початком сезону 2022/23 Акгюн повернувся до «Галатасарая», де зайняв своє місце в основі.[2]
Збірна
У 2017 році у складі юнацької збірної Туреччини (U-17) Юнус Акгюн брав участь у юнацькій першості Європи у Хорватії[3] та в юнацькому чемпіонаті світу, що проходив в Індії.[4]