Щільність множини

Густина (вимірної) множини ${\displaystyle E}$ на дійсній прямій ${\displaystyle \mathbb {R} }$, в точці ${\displaystyle x}$ ― границя (якщо вона існує) відношення

${\displaystyle \lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|}$

де ${\displaystyle D}$ — довільний відрізок, що містить ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle |D|}$ ― його міра Лебега. Якщо замість міри розглядати зовнішню міру, то вийде означення зовнішньої густини ${\displaystyle E}$ в точці ${\displaystyle x}$. Аналогічно вводиться густина в ${\displaystyle n}$-вимірному просторі. При цьому довжини відрізків замінюються об'ємами відповідних ${\displaystyle n}$-вимірних паралелепіпедів з гранями, паралельними координатним площинам, а границя розглядається при прямуванні до нуля діаметра паралелепіпеда. Для множин з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ виявляється корисним поняття правої (лівої) густини ${\displaystyle E}$ в точці ${\displaystyle x}$, яке виходить із загального означення, якщо в ньому розглядати лише відрізки ${\displaystyle D}$, мають лівим (правим) кінцем точку ${\displaystyle x}$.

Пов'язані означення

• Точка густини — точка в якій густина дорівнює одиниці.
  • Майже всі точки вимірної множини є його точками густини.
• Точка розрідження — точка в якій густина дорівнює нулю.

Див. також

• Щільний порядок

Література

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;