Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах —
для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).
Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:
x
5
± ± -->
x
− − -->
1
=
0
{\displaystyle x^{5}\pm x-1=0}
Основна теорема алгебри доводить, що рівняння
n
{\displaystyle \ n}
n
{\displaystyle \ n}
комплексних коренів , хоча над іншими полями коренів може і не існувати.
Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа .
Паоло Руффіні , Teoria generale delle equazioni , 1799В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа , що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.
Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799 , але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.
Сучасне доведення використовує теорію Галуа .
Група Галуа описує групи перестановок
S
n
{\displaystyle \ S_{n}}
коренів многочленів .
При
n
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle n\geq 5}
S
n
{\displaystyle \ S_{n}}
розв'язною.
Нехай
y
1
{\displaystyle \ y_{1}}
дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
y
2
{\displaystyle \ y_{2}}
розширенням
Q
(
y
1
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (y_{1})}
y
5
{\displaystyle \ y_{5}}
Q
(
y
1
,
y
2
,
y
3
,
y
4
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}
Позначимо
E
=
Q
(
y
1
,
y
2
,
y
3
,
y
4
,
y
5
)
,
{\displaystyle \ E=\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}),}
f
(
x
)
=
(
x
− − -->
y
1
)
(
x
− − -->
y
2
)
(
x
− − -->
y
3
)
(
x
− − -->
y
4
)
(
x
− − -->
y
5
)
∈ ∈ -->
E
[
x
]
.
{\displaystyle f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].}
Теорема Вієта :
відкривши дужки, отримаємо що
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
симетричною функцією відносно
y
n
,
{\displaystyle \ y_{n},}
s
1
=
y
1
+
y
2
+
y
3
+
y
4
+
y
5
{\displaystyle \ s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}}
s
2
=
y
1
y
2
+
y
1
y
3
+
⋯ ⋯ -->
+
y
4
y
5
{\displaystyle \ s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+\cdots +y_{4}y_{5}}
і так далі до
s
5
=
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
.
{\displaystyle \ s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}.}
Кожна перестановка
σ σ -->
{\displaystyle \ \sigma }
S
5
{\displaystyle \ S_{5}}
σ σ -->
′
{\displaystyle \ \sigma '}
E
{\displaystyle \ E}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
y
n
.
{\displaystyle \ y_{n}.}
E
{\displaystyle \ E}
|
G
(
E
/
F
)
|
=
|
S
5
|
=
5
!
{\displaystyle \ |G(E/F)|=|S_{5}|=5!}
Єдиним розкладом
S
5
{\displaystyle \ S_{5}}
S
5
≥ ≥ -->
A
5
≥ ≥ -->
{
e
}
{\displaystyle \ S_{5}\geq A_{5}\geq \{e\}}
A
5
{\displaystyle \ A_{5}}
альтернативна група ).Факторгрупа
A
5
/
{
e
}
{\displaystyle \ A_{5}/\{e\}}
A
5
{\displaystyle \ A_{5}}
абелевою групою , тому
S
5
{\displaystyle \ S_{5}}
![{\displaystyle f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53d01454498d805b21b4ade350d8cdee4391a66)
