Вихованець ТФШ Таллінн (Естонія). Провів 4 сезони в себе на батьківщині в Таллінні.
У 2003 році підписав контракт із «Спартак» (Москва), отримав номер 37. Шансів пробитися в основу у нього було небагато і згодом він підписав контракт із клубом «Левадія». З новою командою став триразовим чемпіоном Естонії, і володарем Кубка Естонії у 2007 році.
У 2010 році перейшов в англійський Мідлсбро за 1,2 мільйони євро. Дебютував 7 серпня 2010 року, в матчі проти «Іпсвіча». Естонець вийшов на заміну на 60 хвилині, замість Джастіна Хойта. Гра закінчилась поразкою «Боро» з рахунком 1:3.
Перший гол за «Мідлсбро» Тармо провів 14 вересня 2010 року, в матчі проти «Бернлі», причому в цій же зустрічі він забив і другий свій м'яч за «річників». Вийшовши на заміну за 15 хвилин до закінчення матчу, Кінк на 79-й та 90+4-й оформив дубль, принісши, таким чином, перемогу «Мідлсбро» з рахунком 2:1.
Четвертий м'яч у футболці «Боро» естонець провев 25 квітня 2011 року. Вийшовши на заміну на 65-й хвилині в матчі проти Ковентрі, Тармо, в додатковий час матчу, чудовим ударом приносить «Мідлсбро» перемогу, знову з рахунком 2:1.
28 лютого2012 року перейшов у львівські«Карпати», але вже навесні розірвав співпрацю з клубом через відсутність достатньої ігрової практики.
Після піврічної паузи підписав контракт з клубом «Варезе» який виступав у Серії Б, де і грав до кінця 2012 року.
Весь 2013 рік грав в оренді за клуб «Дьйор», за який грав раніше[1]. У січні 2014 ріка повернувся в Італію, а потім став «вільним агентом».