Союзна матриця

Сою́зною (приє́днаною) до матриці A, називається матриця створена з алгебраїчних доповнень для відповідних елементів первинної матриці, і транспонована по тому.

${\displaystyle {A}^{*}={\begin{pmatrix}{A}_{11}&{A}_{21}&\cdots &{A}_{j1}\\{A}_{12}&{A}_{22}&\cdots &{A}_{j2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{A}_{1i}&{A}_{2i}&\cdots &{A}_{ji}\\\end{pmatrix}}}$

де ${\displaystyle A_{ij}}$ — алгебраїчне доповнення елемента ${\displaystyle a_{ij}}$ даної матриці ${\displaystyle A}$.

Позначення

Союзну матрицю до матриці ${\displaystyle A}$ позначають: ${\displaystyle {\tilde {A}},{\tilde {A}}^{T},A^{*}}$

Приклад

Нехай ${\displaystyle 3\times 3}$ матриця

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}$.

Її союзна матриця має вигляд:

${\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}}$

Властивості

• ${\displaystyle A\,A^{*}=A^{*}\,A=\det(A)\,I}$

  Як наслідок ${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\,A^{*}\,}$.

• ${\displaystyle I^{*}=I\,}$
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}\,A^{*}\,}$

для всіх n×n матриць A і B.

• ${\displaystyle (A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}\,}$.

• ${\displaystyle \det {\big (}A^{*}{\big )}=\det(A)^{n-1}\,}$.

• Якщо p(t) = det(A − t I) — характеристичний многочлен матриці A і q(t) = (p(0) − p(t))/t, тоді

${\displaystyle A^{*}=q(A)=-(p_{1}I+p_{2}A+p_{3}A^{2}+\cdots +p_{n}A^{n-1})}$,

де ${\displaystyle p_{j}}$ — коефіцієнти p(t),

${\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.}$

Див. також

• Невироджена матриця
• Обернена матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Назієв Е.Х. та ін. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Е.Х. Назієв, В.М. Владіміров, О.А. Миронець.- К.: Либідь, 1997.–152с. ISBN 5-325-00272-4.
• Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Дмитрий Письменный.– 5-е изд.– М.: Айрис-пресс, 2007.–608 с.: ил. –(Высшее образование). ISBN 978-5-8112-2374-9