Скінченнопороджений модуль

Скінченнопородженим модулем ${\displaystyle M}$ над асоціативним кільцем ${\displaystyle R}$ називається такий модуль, який породжується скінченною кількістю своїх елементів. Наприклад, для правого модуля це означає, що існує скінченна множина елементів ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\in M}$ таких, що будь-який елемент з ${\displaystyle M}$ рівний сумі ${\displaystyle m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}}$, де ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R}$  — елементи кільця ${\displaystyle R}$.

Еквівалентно скінченнопороджені модулі можна визначити такими умовами:

• Для будь-якої сім'ї підмодулів {N_i | i ∈ I} модуля M, якщо ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$, то ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$ для деякої скінченної підмножини F множиниI.
• Для будь-якої лінійно впорядкованої множини підмодулів {N_i | i ∈ I} вM, якщо ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$, тоді N_i = M для деякого i в I.
• Якщо ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ є епіморфізмом, тоді для деякої скінченної підмножини F множини I ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$ теж є епіморфізмом.

Серед властивостей, тісно пов'язаних з скінченною породженістю  — скінченне представлення, скінченна зв'язність і когерентність модуля. Над нетеровим кільцем всі чотири властивості є еквівалентними.

Скінченнопороджені модулі над полем є скінченновимірними векторними просторами.

Приклади

• Якщо модуль породжується лише одним елементом то він називається циклічним молулем.
• Якщо R є областю цілісності і K його полем часток то кожен скінченнопороджений R-підмодуль I поля K є дробовим ідеалом: тобто існує елемент r в кільці R такий що rI є підмножиною R. Справді за елемент r можна взяти добуток знаменників всіх генераторів I. Якщо R є нетеровим кільцем, то кожен дробовий ідеал одержується в цей спосіб.
• Скінченнопородженими модулями над кільцем цілих чисел Z скінченнопороджені абелеві групи.
• Скінченнопородженими модулями над тілом є скінченновимірні векторні простори над тілом.

Властивості

Образ скінченнопородженого модуля при гомоморфізмі також є скінченнопородженим модулем. У загальному випадку, підмодулі скінченнопородженого модуля не обов'язково є скінченнопородженими. Наприклад, розглянемо кільце R = Z[x₁, x₂...] многочленів від нескінченного числа змінних. Це кільце є скінченнопородженим Z-модуль. Розглянемо його підмодуль (тобто ідеал), що складається з усіх многочленів з нульовим коефіцієнтом при константі. Якби у цього модуля була скінченна породжуюча множина, то кожен одночлен x_i мав би міститися в одному з многочленів цієї множини, що неможливо.

Модуль називається нетеровим, якщо будь-який його підмодуль є скінченнопородженим. Більш того, модуль над нетеровим кільцем є скінченнопородженим тоді і тільки тоді, коли він є нетеровим.

Нехай 0 → M′ → M → M′′ → 0 — точна послідовність модулів. Якщо M′ и M′′ тут скінченно породжені, то і M є скінченнопородженим. Вірні і деякі твердження, частково обернені до даного. Якщо M є скінченнопородженим і M'' скінченнопредставленим (це більш сильне умова, ніж скінченнопородженісь), то M′ є скінченнопородженим.

В комутативній алгебрі існує певний зв'язок між скінченною породженістю і цілими елементами. Комутативна алгебра A над R називається скінченнопородженою над R, якщо існує скінченна множина її елементів, така, що A є найменшим підкільцем A, що містить R і ці елементи. Це більш слабка умова, ніж скінченнопородженість: наприклад, алгебра многочленів R[x]  — скінченнопороджена алгебра, але не скінченнопороджений модуль. Наступні твердження еквівалентні ^[1]:

• A  — скінченнопороджений модуль;
• A  — скінченнопороджена алгебра, що є цілим розширенням R.

Скінченнопредставлені, скінченнопов'язані і когерентні модулі

Властивість скінченної породженості можна сформулювати так: скінченнопороджений модуль M  — це модуль, для якого існує епіморфізм

f : R^k → M.

Розглянемо тепер епіморфізм

φ : F → M

з вільного модуля F в M.

• Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим, M називається скінченнопов'язаним модулем. Оскільки M є ізоморфним F/ker(φ), цю властивість можна виразити наступними словами: M одержується з вільного модуля додаванням скінченної кількості співвідношень.
• Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим і ранг модуля F є скінченним, M називається скінченнопредставленим модулем. Тут у M є скінченна кількість генераторів (образи генераторів F) і скінченна кількість (генераторів ker(φ)).
• Когерентний модуль  — це скінченнопороджений модуль, все скінченнопороджені підмодулі якого є скінченнопредставленими.

Якщо основне кільце R нетеровим, всі чотири умови еквівалентні.

Хоча умова когерентності здається більш «громіздкою», ніж умови скінченної пов'язаності і представленості, вона також є важливою, тому що категорія когерентних модулів є абелевою, на відміну від категорії скінченнопороджених або скінченнопредставлених модулів.

Примітки

1. Kaplansky, 1970, с. 11, Theorem 17.

Джерела

• Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., с. ix+128, MR 0242802 (39 #4129) {{citation}}: Перевірте значення |mr= (довідка)
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., с. x+180, MR 0254021
• Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (вид. 3rd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Translated from the Japanese by M. Reid (вид. 2), Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461 (90i:13001) {{citation}}: Перевірте значення |mr= (довідка)
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, т. 585, Springer.