Народився 12 березня1996 року в місті Вараждин. Вихованець ряду юнацьких команд футбольних клубів Хорватії, після яких 2011 року потрапив др академії головного гранду країни «Динамо» (Загреб)[1][2]. Молодим талантом зацікавили іноземні клуби і у січні 2014 року він був близький до переходу в англійський клуб «Манчестер Юнайтед»[3], але угода не відбулась.
Натомість у червні того ж року Роберт підписав чотирирічний контракт з амстердамським«Аяксом»[4]. Загребське «Динамо» заявило, що контракт між Муричем та «Аяксом» не дійсний, і що він залишається їх гравцем[5]. Тому хорватська асоціація не звільнила його, а це означало, що Мурич ще не мав права грати за «Аякс»[6]. Втім 25 липня 2014 року ФІФА надала нідерландській федерації дозвіл на реєстрацію хорватського футболіста у амстердамському клубу[7].
Тривалий час хорват виступав виключно за резервну команду «Йонг Аякс», в якій провів два сезони, взявши участь у 45 матчах чемпіонату Еерстедивізі. За основну команду Мурич дебютував 21 лютого 2016 року в матчі проти «Ексцельсіора» в Ередивізі, замінивши у другому таймі Анвара Ель-Газі[8]. 6 березня він зіграв останні двадцять хвилин виїзного матчу проти «Віллем II», який став другим і останнім матчем для Роберта за першу команду «Аякса».
Влітку того ж року хорват на правах оренди перейшов у італійську«Пескару»[9]. 1 жовтня у матчі проти «К'єво» він дебютував у італійській Серії A[10]. 22 травня 2017 року в поєдинку проти «Палермо» Мурич забив свій перший гол за «Пескару»[11]. Загалом за сезон у цій команді він зіграв лише 6 матчів в усіх турнірах і забив 1 гол, а команда посіла останнє місце і покинула вищий дивізіон.
У серпні 2017 року перейшов до португальської «Брагу»[12], втім виступав виключно у складі резервної команди «Брага Б» у другому дивізіоні, де за півтора роки провів 18 ігор.
У лютому 2019 року він повернувся до Хорватії та підписав 2,5-річний контракт з «Рієкою»[13]. У новій команді швидко став основним гравцем і допоміг команді двічі поспіль у 2019[14] та 2020 роках виграти Кубок Хорватії. Станом на 16 вересня 2020 року відіграв за команду з Рієки 43 матчі в національному чемпіонаті.
Виступи за збірні
2012 року дебютував у складі юнацької збірної Хорватії (U-16), а наступного року зі збірною до 17 років взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи в Словаччині. На турнірі він зіграв у всіх трьох матчах і у поєдинку проти України (2:1) забив переможний гол[15]. Втім цього не вистачило хорватам для виходу з групи, натомість команда посіла 3-тє місце і групі і отримала право зіграти на юнацькому чемпіонаті світу в ОАЕ. Там Роберт також зіграв усі три матчі групового етапу і забив один гол у грі з Марокко (1:3)[16], але і на цьому турнірі «картаті» посіли лише третє місце у групі і не вийшли в плей-оф. В подальшому він грав за збірні до 18 та 19 років. Загалом на юнацькому рівні взяв участь у 26 іграх, відзначившись 6 забитими голами.
Протягом 2018—2019 років залучався до складу молодіжної збірної Хорватії. У 2019 році у її складі взяв участь у молодіжному чемпіонаті Європи в Італії. На турнірі він зіграв у матчах проти команд Франції[17] і Румунії[18], втім і цього разу хорвати не подолали груповий бар'єр. Всього на молодіжному рівні зіграв у 5 офіційних матчах і забив 1 гол[19].