Послідовність Люка

В математиці, послідовностями Люка називають сімейство пар лінійних рекурентних послідовностей другого порядку, вперше розглянутих Едуардом Люка.

Послідовності Люка являють собою пари послідовностей ${\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}$ и ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$, що задовольняють одному і тому ж рекурентному співвідношенню з коефіцієнтами P і Q:

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0}$

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0}$

Приклади

Деякі послідовності Люка носять власні імена:

• ${\displaystyle \{U_{n}(1,-1)\}}$ - числа Фібоначчі
• ${\displaystyle \{V_{n}(1,-1)\}}$ - числа Люка
• ${\displaystyle \{U_{n}(2,-1)\}}$ - числа Пелля
• ${\displaystyle \{V_{n}(2,-1)\}}$ - числа Пелля-Люка
• ${\displaystyle \{U_{n}(3,2)\}}$ - числа Мерсенна
• ${\displaystyle \{U_{n}(1,-2)\}}$ - числа Якобсталя

Явні формули

Характеристичним многочленом рекуретного співвідношення послідовностей Люка ${\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}$ та ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$ є:

${\displaystyle x^{2}-P\cdot x+Q}$

Його дискримінант ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$ вважається не рівним нулю. Корені характеристичного многочлена

${\displaystyle \alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}$

можна використовувати для отримання явних формул:

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}}$

та

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.~}$

Властивості

Генератриси

Звичайні генератриси (твірні функції) для послідовностей Люка в загальному випадку мають вигляд:

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}$

Джерела

• Lucas sequence at Encyclopedia of Mathematics.
• Weisstein, Eric W. Lucas Sequence(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.