Періодична точка

У математиці, в галузі ітерованих функцій і динамічних систем, періодична точка функції — це точка, до якої система повертається після певної кількості ітерацій функції або певного часу.

Ітеровані функції

Дано відображення f із множини X у себе,

${\displaystyle f:X\to X,}$

Точка x в X називається періодичною, якщо існує n таке, що

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

де ${\displaystyle f_{n}}$ є n-ою ітерацією f. Найменше натуральне число n, яке задовольняє вищезазначеному, називають простим періодом або найменшим періодом точки x. Якщо кожна точка в X є періодичною точкою з тим самим періодом n, то f називають періодичною з періодом n (не слід плутати з поняттям періодичної функції).

Якщо існують різні n і m такі, що

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

то x називають доперіодичною точкою. Усі періодичні точки є доперіодичними.

Якщо f є дифеоморфізмом диференційовного многовиду, так що похідна ${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$ визначена, то кажуть, що періодична точка є гіперболічною, якщо

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

яка є точкою притягання, якщо

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

і точкою відштовхування, якщо

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

Якщо розмірність стійкого многовиду^[en] періодичної точки або нерухомої точки дорівнює нулю, цю точку називають джерелом; якщо розмірність її нестійкого многовиду дорівнює нулю, її називають стоком; і якщо і стабільний, і нестабільний многовиди мають ненульову розмірність, її називають сідлом або сідловою точкою.

Приклади

Точку періоду один називають нерухомою точкою.

Логістичне відображення$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}$$проявляє періодичність для різних значень параметра r. Для r між 0 і 1, 0 є єдиною періодичною точкою з періодом 1 (задає послідовність 0, 0, 0, …, яка притягує всі орбіти). Для r між 1 і 3 значення 0 все ще є періодичним, але не притягує, тоді як значення (r − 1) / r — періодична точка притягання періоду 1. Якщо r більше 3, але менше 1 + √6, існує пара точок періоду 2, які разом утворюють притягальну послідовність, а також точки періоду 1 без притягання 0 і (r − 1) / r. Коли значення параметра r зростає до 4, виникають групи періодичних точок з періодом, рівним будь-якому додатному числу; для деяких значень r одна з цих повторюваних послідовностей притягальна, тоді як для інших жодна з них не притягальна (майже всі орбіти є хаотичними).

Динамічна система

У реальній глобальній динамічній системі (R, X, Φ) з фазовим простором X і функцією еволюції Φ,

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

точку x в X називають періодичною з періодом T, якщо

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$.

Найменше додатне T з цією властивістю називають простим періодом точки x.

Властивості

• Якщо дано періодичну точку x з періодом T, то ${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}$ для всіх t в R.
• Якщо дано періодичну точку x, то всі точки на орбіті^[en] ${\displaystyle \gamma _{x}}$, що проходить через x, є періодичними з однаковим простим періодом.

Див. також

• Граничний цикл
• Гранична множина
• Стійкий многовид^[en]
• Теорема Шарковського
• Стаціонарна точка
• Періодичні точки комплексних квадратичних відображень^[en]

Джерела

• Гіперболічна нерухома точка на PlanetMath.(англ.)